- •1. Вероятности и риски
- •1.1. Понятийный аппарат
- •1.2. Качественный подход к оценке рисков систем
- •1.3. Оценка рисков систем экспертными методами
- •1.4. Методология оценки риска и защищенности для непрерывного и дискретного видов распределения вероятности ущерба
- •1.5. Применение аппарата теории нечетких множеств при оценке риска и защищенности для множества угроз
- •2. Риски и защищенность систем для непрерывных распределений вероятности ущерба
- •2.1. Оценка рисков и защищенности систем для нормального непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.1.1. Сущность нормального непрерывного распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.1.1.1. Область применения нормального непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.1.1.2. Параметры и характеристики нормального непрерывного распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •2.1.2. Оценка риска и защищенности систем для нормального непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.1.2.1. Пространства риска и защищенности систем для нормального непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.1.2.2. Параметры риска для нормального непрерывного распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.2. Оценка рисков и защищенности систем для непрерывного нормального выборочного u-распределения вероятностей ущерба
- •2.2.1. Сущность непрерывного нормального выборочного u-распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.2.1.1. Область применения непрерывного нормального выборочного u-распределения вероятностей ущерба
- •2.2.1.2. Параметры и характеристики непрерывного нормального выборочного u-распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •2.2.2.Оценка риска и защищенности систем для непрерывного нормального выборочного u-распределения вероятностей ущерба
- •2.2.2.1.Пространства риска и защищенности систем для непрерывного нормального выборочного u-распределения вероятностей ущерба
- •2.2.2.2.Параметры риска для непрерывного нормального выборочного u-распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.3.Оценка рисков и защищенности систем для непрерывного нормального выборочного t-распределения вероятностей ущерба
- •2.3.1.Сущность непрерывного нормального выборочного t-распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.3.1.1.Область применения непрерывного нормального выборочного t-распределения вероятностей ущерба
- •2.3.1.2.Параметры и характеристики непрерывного нормального выборочного t-распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •2.3.2.Оценка риска и защищенности систем для непрерывного нормального выборочного t-распределения вероятностей ущерба
- •2.3.2.1.Пространства риска и защищенности систем для непрерывного нормального выборочного t-распределения вероятностей ущерба
- •2.3.2.2.Параметры риска для непрерывного нормального выборочного t-распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.4.1.Сущность непрерывного распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.4.1.1.Область применения непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.4.2.Оценка риска и защищенности систем для непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.4.2.1.Пространства риска и защищенности систем для непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.4.2.2.Параметры риска для непрерывного распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.5.Оценка рисков и защищенности систем для логарифмически нормального непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.5.1.Сущность логарифмически нормального непрерывного распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.5.1.1.Область применения логарифмически нормального непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.5.1.2.Параметры и характеристики логарифмически нормального непрерывного распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •2.5.2. Оценка риска и защищенности систем для логарифмически нормального непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.5.2.1. Пространства риска и защищенности систем для логарифмически нормального непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.5.2.2. Параметры риска для логарифмически нормального непрерывного распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.6. Оценка рисков и защищенности систем для непрерывного Лапласа распределения вероятностей ущерба
- •2.6.1. Сущность непрерывного Лапласа распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.6.1.1. Область применения непрерывного Лапласа распределения вероятностей ущерба
- •Параметры нормированного дискретизированного Лапласа распределения ущербов
- •2.6.2. Оценка риска и защищенности систем для непрерывного Лапласа распределения вероятностей ущерба
- •2.6.2.1. Пространства риска и защищенности систем для непрерывного Лапласа распределения вероятностей ущерба
- •2.6.2.2. Параметры риска для непрерывного Лапласа распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.7. Оценка рисков и защищенности систем для непрерывного -распределения вероятностей ущерба
- •2.7.1. Сущность непрерывного -распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.7.1.1. Область применения непрерывного -распределения вероятностей ущерба
- •2.7.1.2. Параметры и характеристики непрерывного -распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •2.7.2. Оценка риска и защищенности систем для непрерывного -распределения вероятностей ущерба
- •2.7.2.1. Пространства риска и защищенности систем для непрерывного -распределения вероятностей ущерба
- •2.7.2.2. Параметры риска для непрерывного -распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.8. Оценка рисков и защищенности систем для непрерывного гамма-распределения вероятностей ущерба
- •2.8.1. Сущность непрерывного гамма-распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.8.1.1. Область применения непрерывного гамма-распределения вероятностей ущерба
- •2.8.1.2. Параметры и характеристики непрерывного гамма-распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •Параметры непрерывного гамма-распределения вероятностей ущерба
- •Параметры нормированного дискретизированного гамма-распределения вероятностей
- •2.8.2. Оценка риска и защищенности систем для непрерывного гамма-распределения вероятностей ущерба
- •2.8.2.1. Пространства риска и защищенности систем для непрерывного гамма-распределения вероятностей ущерба
- •2.8.2.2. Параметры риска для непрерывного гамма-распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.9. Оценка рисков и защищенности систем для непрерывного экспоненциального распределения вероятностей ущерба
- •2.9.1. Сущность непрерывного экспоненциального распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.9.1.1. Область применения непрерывного экспоненциального распределения вероятностей ущерба
- •2.9.1.2. Параметры и характеристики непрерывного экспоненциального распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •Параметры непрерывного экспоненциального распределения вероятностей ущерба
- •2.9.2. Оценка риска и защищенности систем для непрерывного экспоненциального распределения вероятностей ущерба
- •2.9.2.1. Пространства риска и защищенности систем для непрерывного экспоненциального распределения вероятностей ущерба
- •2.9.2.2. Параметры риска для непрерывного экспоненциального распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.10. Оценка рисков и защищенности систем для равномерного непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.10.1. Сущность равномерного непрерывного распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.10.1.1. Область применения равномерного непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.10.1.2. Параметры и характеристики равномерного непрерывного распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •2.10.2. Оценка риска и защищенности систем для равномерного непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.10.2.1. Пространства риска и защищенности систем для равномерного непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.10.2.2. Параметры риска для равномерного непрерывного распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.11. Оценка рисков и защищенности систем для непрерывного Эрланга распределения вероятностей ущерба
- •2.11.1. Сущность непрерывного Эрланга распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.11.1.1. Область применения непрерывного Эрланга распределения вероятностей ущерба
- •2.11.1.2. Параметры и характеристики непрерывного Эрланга распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •Параметры нормированного дискретизированного Эрланга распределения ущерба
- •2.11.2. Оценка риска и защищенности систем для непрерывного Эрланга распределения вероятностей ущерба
- •2.11.2.1. Пространства риска и защищенности систем для непрерывного Эрланга распределения вероятностей ущерба
- •2.11.2.2. Параметры риска для непрерывного Эрланга распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.12. Оценка рисков и защищенности систем для степенного непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.12.1. Сущность степенного непрерывного распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.12.1.1. Область применения степенного непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.12.1.2. Параметры и характеристики степенного непрерывного распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •Параметры дискретизированного степенного распределения ущербов
- •2.12.2. Оценка риска и защищенности систем для степенного непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.12.2.1. Пространства риска и защищенности систем для степенного непрерывного распределения вероятностей ущерба
- •2.12.2.2. Параметры риска для степенного непрерывного распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.13. Оценка рисков и защищенности систем для непрерывного Парето распределения вероятностей ущерба
- •2.13.1. Сущность непрерывного Парето распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.13.1.1. Область применения непрерывного Парето распределения вероятностей ущерба
- •2.13.1.2. Параметры и характеристики непрерывного Парето распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •Параметры непрерывного Парето распределения вероятностей ущерба
- •2.13.2. Оценка риска и защищенности систем для непрерывного Парето распределения вероятностей ущерба
- •2.13.2.1. Пространства риска и защищенности систем для непрерывного Парето распределения вероятностей ущерба
- •2.13.2.2. Параметры риска для непрерывного Парето распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.14. Оценка рисков и защищенности систем для непрерывного Вейбулла распределения вероятностей ущерба
- •2.14.1. Сущность непрерывного Вейбулла распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.14.1.1. Область применения непрерывного Вейбулла распределения вероятностей ущерба
- •2.14.1.2. Параметры и характеристики непрерывного Вейбулла распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •Параметры дискретизированного нормированного Вейбулла распределения вероятностей ущерба
- •2.14.2. Оценка риска и защищенности систем для непрерывного Вейбулла распределения вероятностей ущерба
- •2.14.2.1. Пространства риска и защищенности систем для непрерывного Вейбулла распределения вероятностей ущерба
- •2.14.2.2. Параметры риска для непрерывного Вейбулла распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •2.15. Оценка рисков и защищенности систем для непрерывного Релея распределения вероятностей ущерба
- •2.15.1. Сущность непрерывного Релея распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •2.15.1.1. Область применения непрерывного Релея распределения вероятностей ущерба
- •2.15.1.2. Параметры и характеристики непрерывного Релея распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •Параметры непрерывного Релея распределения вероятностей ущерба
- •2.15.2. Оценка риска и защищенности систем для непрерывного Релея распределения вероятностей ущерба
- •2.15.2.1. Пространства риска и защищенности систем для непрерывного Релея распределения вероятностей ущерба
- •2.15.2.2. Параметры риска для непрерывного Релея распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •3.1.1.2. Параметры и характеристики гипергеометрического дискретного распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •3.1.2. Оценка риска и защищенности систем для гипергеометрического дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.1.2.1. Пространства риска и защищенности систем для гипергеометрического дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.2. Оценка рисков и защищенности систем для биномиального дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.2.1. Сущность биномиального дискретного распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •3.2.1.1. Область применения биномиального дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.2.1.2. Параметры и характеристики биномиального дискретного распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •3.2.2. Оценка риска и защищенности систем для биномиального дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.2.2.1. Пространства риска и защищенности систем для биномиального дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.2.2.2. Параметры риска для биномиального дискретного распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •3.3. Оценка рисков и защищенности систем для пуассоновского дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.3.1. Сущность пуассоновского дискретного распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •3.3.1.1. Область применения пуассоновского дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.3.1.2. Параметры и характеристики пуассоновского дискретного распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •3.3.2. Оценка риска и защищенности систем для пуассоновского дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.3.2.1. Пространства риска и защищенности систем для пуассоновского дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.4.1.2. Параметры и характеристики геометрического дискретного распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •3.4.2. Оценка риска и защищенности систем для геометрического дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.4.2.1. Пространства риска и защищенности систем для геометрического дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.5.1.2. Параметры и характеристики дискретного распределения вероятностей по закону Паскаля, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •3.5.2. Оценка риска и защищенности систем для дискретного распределения вероятностей ущерба по закону Паскаля
- •3.5.2.1. Пространства риска и защищенности систем для дискретного распределения вероятностей ущерба по закону Паскаля
- •3.5.2.2. Параметры риска для дискретного распределения вероятностей ущерба по закону Паскаля в контексте безопасности систем
- •3.6. Оценка рисков и защищенности систем для Пойа дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.6.1. Сущность Пойа дискретного распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •3.6.1.1. Область применения Пойа дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.6.1.2. Параметры и характеристики Пойа дискретного распределения вероятностей, их физический смысл в контексте безопасности систем
- •3.6.2. Оценка риска и защищенности систем для Пойа дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.6.2.1. Пространства риска и защищенности систем для Пойа дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.6.2.2. Параметры риска для Пойа дискретного распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •3.7. Оценка риска и защищенности систем для мультиномиального дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.7.1. Сущность мультиномиального дискретного распределения вероятностей в контексте безопасности систем
- •3.7.1.1. Пространства риска и защищенности систем для мультиномиального дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.7.2.2. Параметры риска для мультиномиального дискретного распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •3.7.2. Оценка риска и защищенности систем для мультиномиального дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.7.2.1. Пространства риска и защищенности систем для мультиномиального дискретного распределения вероятностей ущерба
- •3.7.2.2. Параметры риска для мультиномиального дискретного распределения вероятностей ущерба в контексте безопасности систем
- •4. Управление рисками систем
- •4.1. Методы оценки эффективности управления рисками
- •4.2. Стратегии управления рисками систем
- •4.3. Методы теории полезности в управлении рисками
- •4.3.1. Постановка задачи выбора в условиях риска
- •4.3.2 Необходимые сведения из теории полезности
- •4.3.3 Применение методов теории полезности
- •4.3.4. Классификация функций полезности по склонности к риску
- •4.3.5. Многомерные функции полезности
- •4.3.6. Методы построения многомерных функций полезности
- •4.3.6.1. Порядок построения многомерной функции полезности
- •4.3.6.2. Проверка допущений о независимости
- •4.3.6.3. Вычисление значений констант шкал
- •4.3.6.4. Проверка согласованности
- •4.3.6.5. Выводы
- •4.4. Экономическая оправданность управления рисками
- •4.4.1. Оптимизация соотношения риска и стоимости обеспечения безопасности систем
- •4.4.2. Применение методов теории полезности при оптимизации затрат на построении системы обеспечения безопасности
- •Заключение
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.3. Оценка рисков систем экспертными методами
оценка субъективной вероятности
Как правило, на практике субъективную вероятность приходится привлекать в следующих случаях [64, 75]:
когда объективная вероятность некачественная;
если предполагается, что полученные закономерности и объективная вероятность не будут наблюдаться в будущем;
когда нет объективных данных о наблюдениях в прошлом.
В таких ситуациях субъективную вероятность можно рассматривать как меру уверенности эксперта в возможности наступления события. Она может быть представлена по-разному: вероятностным распределением на множестве событий, бинарным отношением на множестве событий, не полностью заданным вероятностным распределением или бинарным отношением и другими способами.
Покажем, как определить субъективную вероятность. Разделим процесс на три этапа:
подготовительный этап;
получение оценок;
анализ оценок.
Первый этап позволяет выделить объект исследования – некоторое множество событий. Далее проводится предварительный анализ свойств этого множества (устанавливается зависимость или независимость событий, дискретность или непрерывность случайной величины, порождающей данное множество событий). На основе такого анализа выбирается один из подходящих методов определения субъективной вероятности. На этом же этапе проводится подготовка эксперта или группы экспертов, ознакомление его с методом и проверка понимания поставленной задачи экспертами.
Второй этап состоит в применении метода, выбранного на первом этапе. Результатом этого этапа является набор чисел, который отражает субъективный взгляд эксперта или группы экспертов на вероятность того или иного события.
Здесь далеко не всегда удается установить окончательное распределение, поскольку результаты могут быть противоречивыми.
Третий этап заключается в исследовании и обобщении результатов опроса. Если вероятности, представленные экспертами, не согласуются с аксиомами вероятности, то это доводится до сведения экспертов и ответы уточняются так, чтобы они соответствовали аксиомам. Для некоторых методов определения субъективной вероятности третий этап исключается, поскольку сам метод состоит в выборе распределения, подчиняющегося аксиомам вероятности, которое в том или другом смысле наиболее близко к оценкам экспертов. Примеры таких методов – метод главного значения для конечного множества независимых событий и минимаксный метод для зависимых событий. Особую важность третий этап приобретает при агрегировании оценок, полученных от группы экспертов. Например, в методе Делфи, после анализа вероятностей, представленных отдельными экспертами, предполагается повторение второго этапа, то есть повторный опрос. Далее вновь следует третий этап, и в случае необходимости процедура выполняется еще раз.
Классификация методов получения субъективной вероятности
Методы определения субъективной вероятности можно классифицировать в зависимости от формы поставленных перед экспертами вопросов или от характеристик событий и случайных величин, а также от числа привлекаемых экспертов [64, 75, 78]. В задачах оценки рисков в условиях неопределенности требуется оценивать вероятность (возможность) состояний внешней среды (неопределенных факторов). Поскольку внешняя среда может принимать лишь одно значение из заданного множества, то при оценке субъективных вероятностей обычно применяют методы, предназначенные для множеств несовместных событий. Среди методов, служащих для оценки вероятностей в случае конечных множеств несовместных событий, наибольшее практическое значение имеют три: метод прямого приписывания вероятностей, метод отношений и метод собственного значения, а в случае бесконечных множеств несовместных событий – метод изменяющегося интервала и метод фиксированного интервала.
Для практической реализации указанных методов необходима их детальная доработка и адаптация к характеру решаемых задач. Также понадобится разработать и реализовать конкретные алгоритмы проведения опроса экспертов по этим методам. В качестве дополнения к таким алгоритмам нужны процедуры графического представления данных, подготовленных экспертом. Это позволит эксперту вносить необходимые корректировки в свои прежние оценки исходя из общей картины. А для обработки вероятностей, представленных несколькими экспертами, следует создавать процедуры агрегирования вероятностей. В их основу может быть положен метод взвешенной суммы. Для лучшей согласованности оценок экспертов обычно разрабатывают итеративную процедуру проведения экспертизы, основанную на методе Делфи.
Условно методы нахождения субъективной вероятности можно разделить на следующие три группы.
Первая, самая многочисленная группа, – прямые методы, состоящие в том, что эксперт отвечает на вопрос о вероятности события. К ним относятся метод изменяющихся интервалов, метод фиксированных интервалов, метод отношений, графический метод, метод собственного значения, методы оценки параметров распределения и др. Независимо от конкретного метода данной группы эксперт должен оценивать непосредственно вероятность событий.
Вторую группу образуют методы, в которых вероятность событий выводится из решений экспертов в гипотетической ситуации. Примером является метод лотерей, а также метод равноценной корзины. Формально говоря, применение методов второй группы требует от эксперта сравнения не вероятностей как таковых, а полезности альтернатив, при которых исход зависит от реализации случайной величины. Многие эксперты отмечают возрастающую сложность вопросов и более существенные ошибки при применении этих методов по сравнению с методами первой группы.
Третья группа - это гибридные методы, требующие от экспертов ответов на вопросы как о вероятности, так и о полезности. К гибридным методам относятся некоторые разновидности метода лотерей.
Методы получения субъективной вероятности
Постановка задачи заключается в том, что путем опроса экспертов следует построить вероятностное распределение на конечном множестве несовместимых (взаимоисключающих) событий.
Прямая оценка вероятностей событий
В этом методе эксперту или группе экспертов предъявляется список всех событий. Эксперт должен указать последовательно вероятность всех событий. Возможны различные модификации метода. В одной из модификаций предлагается сначала выбрать наиболее вероятное событие из предложенного списка, а затем оценить его вероятность. После этого событие из списка удаляется, а к оставшемуся списку применяется уже описанная процедура. Сумма всех полученных вероятностей должна равняться единице.
Метод отношений
Эксперту сначала предлагается выбрать наиболее вероятное событие. Этому событию приписывается неизвестная вероятность P1. Затем эксперт должен оценить отношения вероятностей всех остальных событий к вероятности Р1 выделенного события (коэффициенты С1,..., CN). С учетом того, что сумма вероятностей равна 1, составляется уравнение:
Р1(1 + С2+ СЗ + ... +CN) = 1.
Решив это уравнение и найдя величину P1, можно вычислить искомые вероятности.
Метод собственного значения
Метод основан на том, что неизвестный вектор вероятностей (Р1,..., Рn) является собственным вектором некоторой специально построенной матрицы, отвечающим ее наибольшему собственному значению. Сначала эксперту задается вопрос, какое из двух событий более вероятно. Предположим, что более вероятно событие S1. Затем эксперта спрашивают, во сколько раз событие S1 вероятнее, чем S2. Полученное от эксперта отношение записывается на соответствующее место в матрице.
Метод равноценной корзины
Этот метод позволяет получить вероятность исходя из экспертного сравнения полезности альтернатив. Предположим, надо вычислить вероятность некоторого события S1. Определим какие-либо два выигрыша, в частности денежных, которые существенно различны, например: первый выигрыш – 1 млн. руб., а второй – 0 руб., и предложим эксперту на выбор участие в одной из двух лотерей. Первая лотерея состоит в том, что выигрыш в 1 млн. руб. эксперт получает, если состоится событие S1, а выигрыш в 0 руб. – если событие не происходит. Для организации второй лотереи представим себе гипотетическую корзину, заполненную белыми и черными шарами, первоначально в равном количестве, скажем, по 50 шаров каждого цвета. Если вынутый шар белый, то участнику достается 1 млн. руб., если черный – 0 руб. Эксперта просят отдать предпочтение одной из двух лотерей. Если с точки зрения эксперта лотереи равноценны, делается вывод о том, что вероятность события S1 равна 0,5. Если эксперт выбирает первую лотерею, то из корзины вынимается часть черных шаров и заменяется тем же количеством белых. Если предпочтение отдается второй лотерее, то часть белых шаров заменяется черными. В обоих случаях эксперту вновь предлагается поучаствовать в одной из двух лотерей. Изменяя соотношение шаров в гипотетической корзине, добиваются равноценности двух лотерей. Тогда искомая вероятность события S1 равна доле белых шаров в общем их количестве.
Методы оценок непрерывных распределений
Данные методы можно использовать, например, чтобы найти функцию распределения (или плотность распределения) субъективных вероятностей некоторой непрерывной случайной величины [29, 64]. Чаще всего для решения такой задачи применяются два метода, основанных на опросе экспертов: метод изменяющегося интервала и метод фиксированного интервала.
Метод изменяющегося интервала
Существует несколько модификаций этого метода. Но для них общим является требование к эксперту указать на множестве значений случайной величины такой интервал, чтобы вероятность того, что случайная величина принимает значение в указанном интервале, была равна заданной величине. Например, опрос эксперта может строиться по следующей схеме. Сначала эксперта просят указать такое значение P1 случайной величины, при котором оказываются равными две вероятности: того, что случайная величина примет значение меньше P1, и того, что она примет значение больше P1. Получив от эксперта значение P1, переходят ко второму этапу. На этом этапе у эксперта спрашивают, при каком значении Р2 случайной величины область значений больше Р1 поделится на две равновероятные части. Точно так же поступают с областью значений меньше P1 и находят значение РЗ. Вслед за вторым этапом проводится третий этап, состоящий в нахождении медиан каждого из образовавшихся участков. Этот процесс не следует продолжать слишком долго, поскольку при малых величинах интервалов возрастает вероятность ошибки эксперта. При использовании данного метода обычно бывает полезно вернуться к предыдущим оценкам и проанализировать их непротиворечивость. В случае обнаружения противоречий эксперт должен изменить одну из своих прежних оценок.
В некоторых вариантах метода изменяющегося интервала перед экспертом может быть поставлена задача указать две точки на предложенном множестве значений случайной величины, которые разбивают это множество на три равновероятные части. В других вариантах эксперта могут, например, спросить, при каком значении случайной величины P1 вероятность того, что случайная величина примет меньшее значение, чем P1, равна 0,1. Оценки, полученные таким способом, меньше зависят друг от друга, то есть не происходит накопления ошибки. В этом и заключается их преимущество. Существуют модификации метода, основанные на предположении, что для эксперта проще указать точку, делящую область на две равновероятные части, чем точку, отделяющую область, соответствующую вероятности 0,1, от остального множества. Таким образом, в случае применения метода изменяющегося интервала приходится выбирать между простотой сравнения и независимостью получаемых оценок.
Метод фиксированного интервала
В соответствии с этим методом множество значений случайной величины разбивается на интервалы и эксперта просят оценить вероятность того, что случайная величина примет значение из данного интервала. Обычно интервалы, за исключением крайних слева и справа, выбираются равной длины. Число интервалов определяется с учетом необходимой точности и требуемого вида распределения. После того как эксперт сообщил вероятность всех интервалов, обычно проводят проверку полученного распределения. Например, если двум различным интервалам приписана одинаковая вероятность, можно спросить у эксперта, действительно ли они равновероятны. Относительно других интервалов можно уточнить, действительно ли один из них во столько-то раз более вероятен, чем другой, как это следует из приписанных этим интервалам вероятностей. В результате такого просмотра эксперт может несколько подправить вероятности. Иногда метод фиксированного интервала применяется совместно с методом изменяющегося интервала.
Так, можно сначала предложить эксперту определить медиану, то есть такое значение случайной величины, которое разбивает все множество значений на два равновероятных множества, а затем от найденной медианы отложить в обе стороны равные фиксированные интервалы.
Графический метод
Метод дает надежные результаты в том случае, когда эксперт хорошо подготовлен к восприятию графической информации о вероятности. Состоит он в том, что эксперт должен изобразить в графической форме (в виде графика функции распределения или плотности вероятности, в форме диаграммы или графа) свое представление о вероятности событий или о случайной величине. Зачастую общий вид графика известен, а от эксперта требуется лишь подобрать параметры распределения. Графический метод особенно полезен в качестве вспомогательного при анализе вероятностей, найденных каким-либо другим способом. Например, функция распределения может быть определена методом фиксированного интервала, а затем ее график, а также график функции плотности распределения представляют эксперту для окончательной доработки.
Некоторые рекомендации
Известно, что субъективная вероятность, получаемая экспертным путем, существенно зависит от используемого метода. В частности, эксперт нередко склонен преувеличивать вероятность наименее вероятного события, а также недооценивать вероятность наиболее вероятного или преувеличивать дисперсию оцениваемой случайной величины. Рассмотрим несколько рекомендаций, выполнение которых позволит корректно проводить опрос эксперта с помощью различных методов:
необходимо обучить эксперта процедуре проведения экспертизы. Особенно это касается экспертов, имеющих слабую подготовку по теории вероятностей;
надо отдавать себе отчет в том, что сама процедура опроса эксперта является лишь одним звеном во всем процессе определения вероятностей. Предшествующие шаги по вычленению событий и выбору подходящего метода столь же важны. Нельзя пренебрегать также и последующим анализом полученных вероятностей с целью возможной их корректировки;
старайтесь применять объективную информацию о вероятностях событии, например данные о том, как такие события происходили в прошлом. Эта информация должна быть доведена до эксперта. Не забывайте также обрабатывать алгебраическим путем предыдущие оценки эксперта, чтобы сопоставить их с его новыми оценками;
для проверки надежности представленных данных рекомендуется обращаться к каким-либо другим методам нахождения субъективной вероятности или даже к модификации методов. Определенные различными методами вероятности необходимо показать эксперту для уточнения его оценок;
при выборе конкретного метода нужно учитывать опыт работы эксперта с числовыми показателями. И если такой опыт недостаточен, то метод фиксированного интервала непригоден, так как предполагает числовые оценки. Более подходящим в этом случае будет метод изменяющегося интервала, поскольку в его рамках от эксперта требуется лишь утверждение о равновероятности двух интервалов. В любом случае употребление знакомых эксперту понятий, фраз, вопросов и шкал облегчает возможности численного представления вероятности;
всегда, когда это возможно, старайтесь получать субъективную вероятность от нескольких экспертов, а затем некоторым образом агрегировать ее в одну;
сложные методы, требующие больших усилий от эксперта, например метод лотерей, лучше не применять, за исключением случаев, когда имеются серьезные аргументы в пользу выбора этих методов.
Выполнение этих рекомендаций позволяет существенно улучшить оценки вероятности.
c. Некоторые подходы к определению мер риска для различных распределений вероятности ущерба
Наиболее простой и часто используемой мерой риска является, по-видимому, математическое ожидание ущерба [3]
, . (1.15)
В более наглядной форме формула (1.15) будет выглядеть так:
- для НСВ, (1.16)
- для ДСВ. (1.17)
Если вычисление интеграла в (1.16) на практике является слишком трудоемкой задачей, то возможно прибегнуть к следующему приему: продискретизируем закон распределения ущерба по оси абсцисс с шагом дискретизации и будем считать, что при закон распределения на этом участке является линейной функцией (Рис. 1.4).
Рис. 1.4. Закон распределения вероятности величины ущерба продискретизированный по оси абсцисс
Введем обозначение . Тогда интеграл в формуле (1.16) можно представить в виде суммы элементарных рисков ( ), т.е. рисков на интервале . Запишется это так:
, (1.18)
где .
. (1.19)
С учётом (1.19), предлагается записать выражения для расчёта рисков, которые позволяют найти его (риска) величину исключительно на интересующем нас интервале, при непрерывном распределении вероятности ущерба:
,
, (1.20)
.
Учитывая, что при функцию распределения вероятности ущерба на этом промежутке можно рассматривать как линейную и, как следствие, , а также , выражения (1.20) можно записать так:
,
, (1.21)
.
Эта мера риска, по существу, используется до сих пор, когда решения принимаются на основании средних значений, то есть, неопределенность игнорируется. Если неопределенность состояний среды значительна, такой способ принятия решений приводит к большим, иногда катастрофическим, ошибкам.
Другим примером может служить дисперсия распределения ущерба
, . (1.22)
Эта мера риска позволяет уже по существу учитывать неопределенность; на ее основе были построены теории Марковица, а также развившая ее САРМ (Capital Asset Prising Model) Шарпа [3, 13, 30].
Можно ввести также смесь и
, , (1.23)
где – взвешенный параметр, определяющий зависимость и имеющий размерность ущерба.
В современных приложениях активно используется мера ожидаемой полезности
, , (1.24)
где – некоторая вогнутая возрастающая функция полезности, определяющая насколько быстро с ростом ущерба растет его влияние на систему. В качестве примера такой функции можно взять . Тогда риск будет определяться площадью под следующей кривой:
.
В приложениях активно используется мера риска , называемая VaR (Value at Risk), которая представляет собой квантиль распределения заданного уровня :
. (1.25)
Отметим, что меры риска и жестко фиксированы, меры и обладают некоторой гибкостью: в них можно выбрать значения параметров и , а меры риска и обладают уже значительным запасом гибкости, что позволяет настраивать эти меры риска на определенную систему. Также заметим: во всех вышеприведенных формулах – есть закон распределения ущерба.
В качестве меры риска возможно представить также вероятность превышения ущербом некоторого установленного значения :
. (1.26)
При постоянных условиях внешней и внутренней среды риск в системе является константой и определяется в большинстве случаев в литературе как математическое ожидание ущерба. Но с изменением условий, например, с внедрением новых мер защиты или появлением новых алгоритмов взлома, система переходит в новое качественное состояние, которое характеризуется иными параметрами распределения ущерба. Таким образом, можно говорить о том, что изменение ущерба представляет собой случайный процесс, а его математическое ожидание – риск – является случайной величиной.
Пусть – случайный процесс нанесения ущерба. Тогда при любом фиксированном ущерб является случайной величиной, распределенной по закону . В таком случае риск будет представлять собой:
. (1.27)
Таким образом, наблюдается широкое разнообразие способов определения мер риска. Наиболее простыми из них являются - . В следующем разделе приводятся уже более подробные методологии оценки рисков и защищенности.