7. Метод полного исключения

Используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц, разложения вектора по базису, вычисления ранга матрицы.

7.1. Решение систем линейных уравнений

Первый шаг (соответствует исключению неизвестной x₁) выполняется с разрешающим элементом a₁₁0 по правилам прямого хода метода Гаусса.

Общий шаг (соответствует последовательному исключению неизвестных x₂, x₃, ..., x_n) выполняется по следующим правилам:

• назначается разрешающий элемент; им будет коэффициент при исключаемой неизвестной;

• элементы разрешающей строки остаются неизменными;

• все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) заменяются нулями и остаются таковыми до конца преобразований;

• все прочие элементы пересчитываются по правилу прямоугольника.

Контроль вычислений остается неизменным.

Решим ту же самую систему линейных уравнений методом полного исключения.

 

  

Ответ: .

7.2. Вычисление обратной матрицы методом полного исключения.

Дана матрица , det A 0.

Составляем расширенную матрицу, приписав справа к исходной матрице единичную матрицу, отделив её от исходной вертикальной чертой:

.

Эта матрица подвергается преобразованиям по алгоритму полного исключения и слева от вертикальной черты получается единичная, а справа - обратная матрица А^-1. При расчёте желательно вести контроль вычислений.

Пример. Для матрицы А= найти А^-1, пользуясь методом полного исключения.

Решение.

 

~ ~

~

А^-1= = .

7.3. Вычисление ранга матрицы методом полного исключения

Пусть дана матрица A размеров m x n. Если в ходе преобразований её методом полного исключения не встретится строка (столбец), состоящая сплошь из нулей, то rang A = min(m;n). Если же k (k<min(m;n)) строк (столбцов) матрицы окажутся состоящими сплошь из нулей, то rang A = min(m;n)-k.

Пример. Найти ранг матрицы:

A=

Решение.

    

Следовательно, rang A=2.

Однородные системы линейных уравнений.

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если во всех её уравнениях свободные члены равны 0.

В общем случае однородная система имеет вид:

.

Однородная система всегда совместна, т.к. имеет нулевое (тривиальное) решение x_i=0, i= .

Теорема 1. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Теорема 2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен 0.

Пусть - множество всех решений однородной системы. Всякий базис в множестве состоит из векторов . Соответствующая ему в базисе система вектор-столбцов называется фундаментальной системой решений. Общее решение однородной системы имеет вид

,

где - произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства)

Решение. Преобразуем матрицу коэффициентов

 

  .

Следовательно, - базис. Размерность пространства решения . Полагая получим общее решение системы

.

Из общего решения находим фундаментальную систему решений (частное решение):

, , .

С использованием фундаментальной системой решений может быть записано в виде .