5.6. Дифференциалы высших порядков

Пусть дифференцируемая функция, а ее аргумент —независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал есть также функция ; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается или .

Итак, по определению . Найдем выражение второго, дифференциала функции .

Так как не зависит от , то при дифференцирования считаем постоянным:

,

т.е.

. (5.5)

Здесь обозначает .

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:

.

И, вообще, дифференциал -го порядка есть дифференциал от дифференциала ( )-го порядка: .

Отсюда находим, что . В частности, при = 1, 2, 3 соответственно получаем:

, ,

т.е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы толь­ко, если — независимая переменная. Если же функцию , где — функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения , получаем:

,

т.е.

(5.6)

Сравнивая формулы (5.5) и (5.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое .

Ясно, что если — независимая переменная, то

и формула (5.6) переходит в формулу (5.5).

Пример 5.6. Найти , если и — независимая пере­менная.

Решение: Так как , , то по формуле (5.5) имеем .

Пример 5.7. Найти , если и и — независимая переменная.

Решение: Используем формулу (5.6): так как

, , , ,

то

.

Другое решение: , . Следовательно, . Тогда по формуле (5.5)

,

т.е.

.

§6. Исследование функций при помощи производных

6.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.

Теорема 6.1 (Ролля). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка при­нимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, и . Если , то функция постоянна на и, следовательно, ее производная в любой точке отрезка .

Если , то функция достигает хотя бы одно из значений или во внутренней точке с интервала , так как .

Пусть, например, функция принимает значение в точке , т.е. . Тогда для всех выполняется соотношение

. (6.1)

Найдем производную в точке :

.

В силу условия (6.1) верно неравенство . Если (т.е. справа от точки ), то

поэтому .

Если , то

и .

Таким образом, .

В случае, когда , доказательство аналогичное.

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции найдется точка, в которой касательная к графику параллель­на оси (см. рис. 6.1 и 6.2). На рисунке 6.3 таких точек две.

Рис. 6.1 Рис. 6.2

Рис. 6.3

Теорема 6.2 (Коши). Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем для , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство .

Доказательство. Отметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с, такая, что , чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

.

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на от­резке и дифференцируема на интервале , так как является

линейной комбинацией функций и ; на концах отрезка она принимает одинаковые значения .

На основании теоремы Ролля найдется точка такая, что . Но , следовательно,

.

Отсюда следует

и .

Теорема 6.3 (Лагранжа). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

. (6.2)

Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив , находим , , .

Подставляя эти значения в формулу получаем или .

Полученную формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке равно приращению аргумента, умно­женному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Теорема Лагранжа имеет про­стой геометрический смысл. Запи­шем формулу (6.2) в виде

,

где . Отношение есть угловой коэффициент секущей , а величина — угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой .

Рис. 6.4

Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции найдется точка (см. рис. 6.4), в которой касательная к графику функции параллельна секущей .

Следствие 6.1. Если производная функции равна нулю на некото­ром промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть для . Возьмем произвольные и из и пусть . Тогда по теореме Лагранжа такая, что . Но по условию , стало быть, , где . Поэтому имеем , т.е. . А так как и — произвольные точки из интервала , то имеем .

Следствие 6.2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоян­ное слагаемое.

Доказательство. Пусть при . Тогда . Следовательно, согласно следствию 6.1, функция есть постоянная, т.е. для .

Пример 6.1. Доказать, что , где .

Решение: Пусть . Тогда имеем . Отсюда следует, что , т.е. . Положив , находим , т.е. .

Поэтому . Это равенство выполняется и при (проверьте!).

Аналогично доказывается, что .

Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему Лагранжа к отрезку ( ), будем иметь

. (6.3)

Каждое число можно записать в виде , где (действительно, ; положим ). Формула (6.3) примет вид

, где .

Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность приближенного равенства . Сделаем это, считая, что функция имеет непрерывную вторую производную :

,

где .

Итак, . Пусть . Так как , a , то получаем оценку .