1.7. Гиперболические функции и их производные

В математике, механике, электротехнике и некоторых других дисциплинах встречаются гиперболические функции, определяемые следу­ющими формулами:

— гиперболический синус;

— гиперболический косинус («цепная линия»);

и — гиперболический тангенс и котангенс, где — неперово число.

На рисунках 1.8-1.11 показаны графики гиперболических функ­ций.

Между гиперболическими функциями существуют следующие основные зависимости:

;

;

;

;

; .

Все эти формулы вытекают из определения гиперболических функций.

Например,

.

Рис. 1.8 Рис 1.9

Рис. 1.10 Рис. 1.11

Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см. рис. 1.12) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см. рис. 1.13).

Рис. 1.12

Параметрические уравнения и определяют окружность , причем ,

Рис. 1.13

Параметрические уравнения и определяют гиперболу , причем ,

Найдем производные гиперболических функций:

, т.е. ;

, т.е. ;

, т.е. ;

, т.е. ;

1.8. Таблица производных

Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы.

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент « » заменен на промежуточный аргу­мент « ».

Правила дифференцирования

1. ;

2. , в частности, ;

3. , в частности, ;

4. , если , ;

5. , если , ;

Формулы дифференцирования

1. ;

2. , в частности, ;

3. , в частности, ;

4. , в частности, ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. .

Для вычисления производных надо знать лишь правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.

Пример 1.10. Найти производную функции .

Решение:

Надо стараться обходиться без лишних записей.

Пример 1.11. Найти производную функции .

Решение:

Производная найдена. В процессе решения использованы правила 2, 3 и формулы 2, 7.

Пример 1.12. Найти производную функции .

Решение: Коротко: .

Решение с пояснениями: данную функцию можно представить сле­дующим образом: , , , . Производную сложной функции найдем по правилу (здесь проме­жуточных аргументов три):

,

т.е.

,

т.е.

,

т.е.

.

Окончательно

.

§2. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

2.1. Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением , разрешенным относи­тельно , то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения , не разрешенного относительно . Всякую явно заданную функцию можно записать как неявно заданную уравнением , но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно (например, или ).

Если неявная функция задана уравнением , то для нахо­ждения производной от по нет необходимости разрешать урав­нение относительно : достаточно продифференцировать это уравнение по , рассматривая при этом как функцию , и полученное затем уравнение разрешить относительно .

Производная неявной функции выражается через аргумент и функцию .

Пример 2.1. Найти производную функции , заданную уравне­нием .

Решение: Функция задана неявно. Дифференцируем по равен­ство . Из полученного соотношения

.

следует, что , т.е. .