1.6. Производные основных элементарных функций Степенная функция

Степенная функция имеет вид ,

Дадим аргументу приращение . Функция получит приращение . По формуле бинома Ньютона имеем

.

Тогда

.

Находим предел составленного отношения при :

Таким образом,

.

Например, , , .

Ниже будет показано, что формула произ­водной степенной функции справедлива при любом (а не только натуральном).

Показательная функция

Показательная функция имеет вид , ,

Найдем сначала производную функции . Придав аргументу приращение , находим приращение функции : . Следовательно, и

.

При вычислении предела воспользовались эквивалентностью

при .

Итак, , т. е.

.

Теперь рассмотрим функцию , . Так как , то по формуле производной сложной функции находим:

.

Таким образом, .

Пример 1.5. Найти производную функции .

Решение: Используя формулу производной сложной функции и формулу производной показательной функции, находим

.

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция имеет вид

, ,

Найдем сначала производную функции . Для нее

.

Переходя к пределу при и воспользовавшись эквивалентностью при , получаем:

,

т. е. или .

Теперь рассмотрим функцию .

Так как , то

.

Таким образом, .

Пример 1.6. Найти производную функции .

Решение: .

Производную логарифмической функции можно найти; иначе. Так как обратной для нее функцией является , то по формуле производной обратной функции имеем:

.

Тригонометрические функции

Рассмотрим функции , , ,

Для функции имеем:

.

Переходя к пределу при и воспользовавшись первым за­мечательным пределом получаем

,

т.е. или .

Найдем производную функции , воспользовавшись форму­лой производной сложной функции:

,

т.е. .

Для нахождения производных функций и воспользуемся формулой производной частного:

,

т.е. .

Проделав аналогичные операции, получим формулу

.

Этот результат можно получить иначе:

.

Пример 1.7. Найти производную функции .

Решение: .

Обратные тригонометрические функции

Рассмотрим функции , , ,

Пусть . Обратная ей функция имеет вид , . На интервале верно равенство .

По правилу дифференцирования обратных функций

,

где перед корнем взят знак плюс, так как при .

Итак, .

Аналогично получаем, что . Эту формулу можно получить проще: так как , т.е. , то .

Найдем производную функции .

Она является обратной к функции , где .

Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, пот] л у чаем, что

.

Итак, .

Функции и связаны отношением

, т.е. .

Дифференцируя это равенство, находим

,

т.е. .

Пример 1.8. Найти производные функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Решение: 1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Замечание: Найдем производную степенной функции с лю­бым показателем . В этом случае функция рассматривается для .

Можно записать . По правилу дифференцирования сложной функции находим

,

т.е. .

Формула остается справедливой и для , если функция существует:

.

при всех .

Пример 1.9. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение: Находим :

,

т.е. . Подставляем значение в данное уравнение:

, т. е. , 0 = 0.

Функция удовлетворяет данному уравнению.