1.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой

Пусть функция определена на некотором интервале . Проделаем следующие операции:

– аргументу дадим приращение : ;

– найдем соответствующее приращение функции: ;

– составим отношение приращения функции к приращению аргумента: ;

– найдем предел этого отношения при : .

Если этот предел существует, то его называют производной функ­ции и обозначают одним из символов , ; ; ; .

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда

приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

или .

Производная функции есть некоторая функция , произведенная из данной функции.

Функция , имеющая производную в каждой точке интерва­ла , называется дифференцируемой в этом интервале; опе­рация нахождения производной функции называется дифференциро­ванием.

Значение производной функции в точке обознача­ется одним из символов: , или .

Пример 1. Найти производную функции , .

Решение:

– Значению ж даем приращение ;

– находим приращение функции : ;

– значит, ;

– следовательно, , т. е. .

Пример 2. Найти производную функции .

Решение:

– Аргументу даем приращение ;

– находим : ;

– составляем отношение : ;

– находим предел этого отношения:

.

Таким образом, .

В задаче про скорость прямолинейного движения было получено.

Это равенство перепишем в виде , т. е. скорость прямоли­нейного движения материальной точки в момент времени есть про­изводная от пути по времени . В этом заключается механический смысл производной.

Обобщая, можно сказать, что если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть ско­рость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной . Это равенство перепишем в виде , т.е. производная в точке рав­на угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной.

Если точка касания имеет координаты (см. рис. 1.6), то угловой коэффициент касательной есть . Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении ( ), можно записать уравнение касательной:

. (1.5)

Рис. 1.4

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой ко­эффициент

.

Поэтому уравнение нормали имеет вид (если ).

1.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема 1.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Доказательство. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке . Следовательно, существует предел .

Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем , где при то есть .

Переходя к пределу, при , получаем . А это и означает, что функция непрерывна в точке .

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной.

Приме­ром такой функции является функция

Рис. 1.5

Изображенная на рисунке 1.5 функция не­прерывна в точке , но не дифференцируема в ней.

Действительно, в точке имеем

.

Отсюда следует, что не существует, т. е. функция

не имеет производной в точке , график функции не имеет каса­тельной в точке .

Замечания: 1. Существуют односторонние пределы функции в точке : , . В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные (или «про­изводные слева и справа»), и обозначают соответственно и .

Если и , то производная в точке не существует. Не существует производной и в точках разрыва функции.

2. Производная непрерывной функции сама не обязательно является непрерывной.

Если функция имеет непрерывную производную в некотором интервале , то функция называется гладкой.

На рисунках 1.6 и 1.7 приведены примеры непрерывных и разрывных функций.

Рис. 1.6 Рис. 1.7