§ 7. Формула тейлора
В определении функции не говорится о том, при помощи
каких
средств находятся значения
по
значениям
.
В
тех случаях, когда функция является
формулой вида
,
значения функции найти легко с помощью
четырех арифметических действий. Но
как найти значения, например, функций
,
при
любых (допустимых) значениях аргумента?
Для
того, чтобы вычислить значения данной
функции
,
ее заменяют многочленом
степени
,
значения которого всегда и легко
вычисляемы. Обоснование возможности
представлять функцию многочленом дает
формула Тейлора.
7.1. Формула Тейлора для многочлена
Пусть функция есть многочлен степени :
.
Преобразуем
этот многочлен также в многочлен степени
относительно
разности
,
где
—
произвольное число, т. е. представим
,
в
виде
.
(7.1)
Для
нахождения коэффициентов
продифференцируем
раз
равенство (7.1):
,
,
,
......................................................................................
.
Подставляя в полученные равенства и равенство (7.1), имеем:
,
,
,
,
...
т.е.
,
,
,
,
...
.
Подставляя найденные значения в равенство (7.1), получим разложение многочлена -й степени по степеням ( ):
. (7.2)
Формула (7.2) называется формулой Тейлора для многочлена степени .
Пример
7.1. Разложить
многочлен
по степеням
.
Решение:
Здесь
,
,
,
.
Поэтому
,
,
,
.
Следовательно,
,
т.е.
.
7.2. Формула Тейлора для произвольной функции
Рассмотрим функцию . Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема
7.1. Если
функция
определена в некоторой окрестности
точки
и
имеет в ней производные до (
)-го
порядка включительно, то для любого
из
этой окрестности найдется точка
такая, что справедлива формула
(
,
).
(7.3)
Формула
(7.3) называется формулой
Тейлора для функции
.
Эту формулу можно записать в виде
,
где
называется многочленом Тейлора, а
называется
остаточным
членом формулы
Тейлора, записанным в форме Лагранжа.
есть
погрешность приближенного равенства
.
Таким
образом, формула Тейлора дает возможность
заменить функцию у
=
многочленом
с
соответствующей степенью точности,
равной значению остаточного члена
.
При
получаем
частный случай формулы Тейлора —
формулу
Маклорена:
. (7.4)
где
находится между 0 и
(
,
).
При
формула
Тейлора (7.3) имеет вид
или
,
т.е. совпадает с формулой Лагранжа
конечных приращений. Рассмотренная
ранее формула для
приближенных
вычислений
(см.
«дифференциал функции») является частным
случаем более точной формулы
.
Пример 7.2. Найти число с точностью до 0,001.
Решение:
Запишем формулу Маклорена для функции
.
Находим
производные этой функции:
,
,
…,
.
Так
как
,
,
…,
,
то по формуле (7.4) имеем:
.
Положим :
.
Для
нахождения
с точностью 0,001 определим
из
условия, что остаточный член
меньше
0,001. Так как
,
то
.
Поэтому
при
имеем
.
Итак, получаем приближенное равенство
,
т.е.
.
Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других элементарных функций:
,
,
,
Примерные варианты контрольных заданий по теме
«Дифференцирование функций»
Вариант 1
1. Вычислить производные
а)
б)
,
-?
в)
г)
2. Найти
дифференциал
а)
б)
Вариант 2
1. Вычислить производные
а)
б)
,
-?
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 3
1. Вычислить производные
а)
б)
,
-?
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 4
1. Вычислить производные
а)
,
-? б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 5
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 6
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 7
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 8
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 9
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 10
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 11
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 12
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 13
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 14
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 15
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 16
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 17
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 18
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
Вариант 19
1. Вычислить производные
а)
,
-?
б)
в)
г)
2. Найти дифференциал
а)
б)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данное учебное пособие содержит основные сведения из разделов курса высшей математики, таких как: элементы линейной алгебры, элементы векторной алгебры, аналитическая геометрия на плоскости, аналитическая геометрия в пространстве, введение в математический анализ.
Последовательное изложение учебного материала от более простых понятий к более сложным, должны способствовать глубокому усвоению студентами дисциплины «Высшая математика». Рассмотренные конкретные примеры позволяют изучить все существенные особенности, которые могут возникать при решении задач.