1.2.1. Алгоритмы проверки общезначимости и противоречивости в исчислении высказываний

1. Алгоритм Квайна. Напомним, что формула F от пропозициональных переменных А₁, А₂, …, А_n является общезначимой (тождественно истинной) или (что то же самой) доказуемой, если булева функция , соответствующая формуле F, тождественно равна 1. Для проверки значений функции f используется так называемое семантическое дерево, т.е. бинарное дерево, которое удовлетворяется следующим условиям:

1. каждое ребро соответствует переменной (с отрицанием или без);

2. ребра, выходящие из одной вершины, соответствуют контрарным переменным: , ;

3. ребра соответствуют одной и той же переменной тогда и только тогда, когда они находятся на одинаковом расстоянии от корня (рис. 1.1).

Семантическое дерево имеет висячих вершин и для проверки общезначимости необходимо пройти маршрутов от корня до этих вершин.

Алгоритм Квайна позволяет проходить не все семантическое дерево, а только его часть. Он состоит в том, что пропозициональным переменным , упорядоченным в набор (А₁,А₂, …, А_n), последовательно придают значения 0 и 1 и анализируют таблицы истинности формул, содержащих меньшее число переменных.

Пример. Проверить общезначимость формулы

.

Упорядочим пропозициональные переменные (А, В, С). Придадим первой переменной А значение 1, т.е. А=1. Тогда формула F преобразуется следующим образом:

.

В полученной формуле переменной В придадим значение 1, т.е. В=1. Тогда преобразованная формула имеет вид , т.е. будет общезначимой. В случае В=0 имеем , что также общезначимо. Рассмотрим теперь случай А=0. Имеем

.

Таким образом, все возможные случаи приводят к тождественно истинным (общезначимым) формулам. Следовательно, формула F также истинна. На рис. 1.2а изображено семантическое дерево, соответствующее формуле F, а на рис. 1.2б показана часть семантического дерева, которая фактически использовалась для проверки общезначимости.

2. Алгоритм редукции решает ту же задачу проверки общезначимости формулы, но используется в том случае, когда в формуле содержится достаточно много импликаций. Идея алгоритма состоит в попытке нахождения значений пропозициональных переменных формулы F, при которых значение функции f равно 0, на основе того, что импликация является ложной в том и только в том случае, когда посылка истинна, а заключение ложно.

Пример. Проверить тождественную истинность формулы

Предположим, что формула ложна при некотором наборе значений переменных А, В, С. Тогда истинностная функция f по этим значениям переменных дает следующие значения формул: , . Тогда из второго равенства получает А=1, , откуда имеем B=1, C=0. Однако при этих значениях справедливо . Получили противоречие. Таким образом, формула F тождественно истинна.