Мощность множества

Мощность множества равна числу его элементов, если множество конечно.

Очевидно, что в то время как подсчет числа элементов возможен лишь для сравнения конечных множеств, то для сравнения бесконечных множеств нужно установить взаимно-однозначное соответствие, когда каждому элементу хX ставится в соответствие один и только один элемент уY. Если между множествами Х и Y установлено взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны или равномощны: X~Y.

Таким образом, понятие эквивалентности множеств есть обобщение понятия равночисленности на случай бесконечных множеств.

Г. Кантор установил, что множества R и R² (плоскость) равномощны. В единичном квадрате точек не больше, чем на единичном отрезке.

Павел Флоренский писал «Человек – малый мир, . Среда – большой мир... Так говорится обычно. Но ничто не мешает нам сказать и наоборот... Если и Человек, и природа бесконечны, то человек, как часть природы, может быть равномощен со своим целым, и то же должно сказать о природе, как части человека... Человек – в мире, но человек так же сложен, как и мир. Мир – в человеке, но и мир так же сложен, как человек».

1.3 Множество действительных и комплексных чисел

В основе математики лежит понятие множества. Природа элементов абстрактного множества нас не интересует. От элементов требуется только одно, чтобы они подчинялись заданной системе аксиом. Ценность формального определения состоит в том, что оно выявляет общие свойства совершенно, казалось бы, различных математических объектов. Например, числовые множества имеют одинаковые алгебраические свойства. Напомним эти множества.

Натуральные числа. Леопольд Кронекер когда-то произ­нес: «Натуральное число создал господь Бог, все прочие – дело рук человеческих». Натуральный ряд – это числа 1, 2, 3 и т.д. до бесконечности. Обозначение натурального ряда: .

Целые числа – это числа вида n, –n и 0, где n – натуральное число. Все целые числа можно записать так: …, –2, –1, 0, 1, 2, … Отсюда следует, что любое натуральное число является также и целым. Обозначение: .

Рациональные числа – это числа вида p/q, где p и q – целые числа, причем q ≠ 0. Обозначение: . Очевидно, что любое целое число является рациональным.

Действительные или вещественные числа (или континуум) получают из рациональных чисел с помощью некоего предельного процесса. Это наши обычные числа. Обозначение: . Рациональное число всегда действительное. Таким образом,

.

Иррациональные числа. Любая обыкновенная дробь может быть записана в виде бесконечной периодической десятичной дроби. И наоборот, любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. А какой смысл могут иметь бесконечные непериодические дроби

Легко показать, что никакая дробь p/q не может быть корнем уравнения x² – 2 = 0. Таким образом не является рациональным числом, то есть бесконечной периодической десятичной дробью. Действительные, но не рациональные числа называются иррациональными числами. Обозначение: J.

Комплексные числа. Не каждый многочлен с целыми коэффициентами имеет корни среди действительных чисел, например, квадратный двучлен x² + 1. Добавим к действительным числам некое число i, квадрат которого равен –1: i² = –1. Число i = называется мнимой единицей.

Полученный таким образом набор чисел вместе с результатами арифметических операций над ними называется комплексными числами: .

Комплексные числа записывают в виде z = x + iy, где x и y – вещественные числа, i – мнимая единица.

x = Re z называется вещественной частью комплексного числа z, y = Im z – мнимой частью.

Комплексно сопряженными называются числа, отличающиеся только знаком своей мнимой части z^* = x – iy.

Действительные числа – частный случай комплексных при y = 0. Не действительные числа, т. е. комплексные при y ≠0, называются мнимыми.

Любой многочлен с коэффициентами из имеет корень в .

Комплексные числа наглядно изображают на координатной плоскости: на горизонтальной оси лежат вещественные числа Re z, а на вертикальной – мнимые числа Im z.

Модуль числа z равен расстоянию точки, изображающей это число от начала координат .

Для комплексных чисел следующим образом определены операции сложения и умножения:

(х₁, у₁) + (х₂, у₂) = (х₁ + х₂, у₁ + у₂),

(х₁, у₁)  (х₂, у₂) = (х₁·x₂ – у₁·у₂, х₁·у₂ + х₂·у₁).

Частное комплексных чисел равно комплексному числу

.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

коммуникативности z₁ + z₂ = z₂ + z₁, z₁ · z₂ = z₂ · z₁;

ассоциативности (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃),

(z₁ · z₂) ·z₃ = z₁ · (z₂ · z₃);

дистрибутивности z₁ · (z₂ + z₃) = z₁ · z₂ + z₁ · z₃.

Два комплексных числа z₁ = (х₁, у₁) и z₂ = (х₂, у₂) равны, если х₁ = х₂ и у₁ = у₂.

Существует три формы представления комплексного числа z=(x,y):

алгебраическая z=x+iy,

тригонометрическая z =│z│(cosφ+isinφ),

показательная z =│z│exp(iφ).

Здесь символ exp(iφ) обозначает комплексное число (cosφ+i sinφ), φ называется аргументом (аrg z) комплексного числа и является решением системы уравнений

Все аргументы различаются на целые кратные 2 и обозначаются единым символом Arg z.

Комплексные числа часто встречаются в качестве корней полиномов.

Многочленом (полиномом) n-й степени называется выражение вида:

,

где

Два многочлена и равны, если

.

Многочлены можно складывать, перемножать, делить.

Существуют единственные многочлены и такие, что

или ,

здесь – ненулевой многочлен; или ; .

называют частным от деления на , а – остатком.

Если , то делится на без остатка.

Число называется корнем многочлена , если .

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на равняется значению этого многочлена в точке .

Основная теорема алгебры (теорема Гаусса). Всякий мно­гочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень.

Пример 2. Решить уравнение z³ = 1. Найти модули корней. Отобразить на декартовой плоскости решение уравнения.

Решение.

Здесь – мнимая единица.