2.5 Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий

Если A и В – несовместные события, (т.е. появление одного из них исключает появления другого в одном и том же испытании), то

P(A В)=P(A)+P(В).

Если A и В – совместные события, то A В = (А\ В)В,

причем очевидно, что A\В и В – несовместные события.

Отсюда следует:

P(AВ)=P(A\В)+P(В). (2)

Далее очевидно: A=(A\ В)(A∩В), причем A\ В и A∩В – несовместные события, откуда следует:

P(A)=P(A\В)+P(A∩В).

Найдем из этой формулы выражение для P(A\В) и подставим его в правую часть формулы (2). В результате получим формулу сложения вероятностей:

P(AВ)=P(A)+P(В)–P(A∩В),

или, в другой встречающейся в литературе записи,

P(A+В)=P(A)+P(В)–P(AВ)

Из последней формулы легко получить формулу сложения вероятностей для несовместных событий, положив AВ = :

P(A+В)=P(A)+P(В).

Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей (вероятность произведения событий)

Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова вероятность, что студент вытащил выученный билет?

Определим пространство элементарных исходов: =(1,2,3,...,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, что студент вытащил выученный билет: А = (1,...,5,25,...,30), а событие В – в том, что студент вытащил билет из первых двадцати: В = (1,2,3,...,20). Событие А∩В состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и 20/30. Число 20/30 – это вероятность события B. Число 5/20 можно рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В произошло (обозначим её Р(А/В)). Таким образом, решение задачи определяется формулой

P(А∩В)=Р(B)Р(А/В),

которая называется формулой умножения вероятностей, а вероятность Р(А/В) – условной вероятностью события A.

В другом способе записи эта формула имеет вид

P(АВ)=Р(B)Р(А/В)=Р(A)Р(B/A).

Тем самым вопрос о вычислении условной вероятности Р(А/В) сводится к вычислению двух безусловных вероятностей P(АВ) и Р(B), определенных на заданном вероятностном пространстве.

Вероятность произведения n событий A₁,A₂,…,A_n равна произведению одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло, на условную вероятность третьего при условии, что и первое и второе произошло и т.д.

Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В называются независимыми), если Р(А/В)=Р(А).

За определение независимых событий можно принять следствие последнего равенства и формулы умножения:

P(А∩В)=Р(А)Р(B),

или

P(АВ)=Р(А)Р(B).

Если события A₁,A₂,…,A_n попарно независимы, то вероятность наступления хотя бы одного из них проще вычисляется не по формуле сложения, а по формуле умножения вероятностей:

.

Пример 11. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями 0.851, 0.751, и 0.701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя

а) только один элемент

б) хотя бы один элемент.

Решение. Испытание, т.е. работу за время Т, нужно рассмотреть на двух уровнях на уровне устройства и на уровне элементов. Вероятности элементарных событий заданы.

а) Обозначим за А₁ событие, когда за время Т выходит из строя только один элемент

В₁ – первый элемент выходит из строя

В₂ – второй элемент выходит из строя

В₃ – третий элемент выходит из строя

– первый элемент не выходит из строя

– второй элемент не выходит из строя

– третий элемент не выходит из строя

Учитывая независимость элементов устройства, а также не­совместность событий и , получаем следующую формулу:

По условию ,

следовательно .

Таким образом,

б) А₂ – событие, когда за время Т выходит из строя хотя бы один элемент событие определяется словами “хотя бы”, значит, используем противоположное событие – за время Т все элементы работают безотказно.

Пример 12. В кармане лежит n ключей, из которых только один подходит к замку. Ключи по одному достают из кармана. Какова вероятность того, что нужный ключ будет вынут при k-м извлечении?

Решение. Обозначим через A_k событие, состоящее в том, что нужный ключ вынули на k-м шаге, соответственно состоит в том, что на этом шаге достали не тот ключ. Событие, вероятность которого требуется найти, есть произведение (первые k–1 раз достали не тот ключ, а на k-й раз вынули нужный).

Очевидно, что

,

т.е. (n –1) ненужных из n ключей;

,

если в первый раз достали неправильный ключ, в кармане осталось (n –1) ключей, из них (n –2) не подходят;

и так далее:

Если (k–1) раз доставали неправильный ключ, то в кармане осталось (n – k +1) ключей, из них один подходящий. Значит

Итак,