
- •Фгбоу впо «Воронежский государственный технический университет» в.А. Шунина в.В. Пешков с.А. Кострюков элементы математического анализа, теории вероятности и статистики
- •Воронеж 2014
- • Шунина в.А., Пешков в.В., Кострюков с.А., 2014
- •Введение
- •1 Основhыe понятия математического анализа
- •1.1 Математика как часть общечеловеческой культуры. Основные этапы становления современной математики. Аксиоматический подход
- •Период элементарной математики
- •Период математики переменных величин
- •Период современной математики
- •1.2 Множества и подмножества. Операции над множествами. Мощность множества
- •Операции на множествах
- •Множества и отношения
- •Мощность множества
- •1.3 Множество действительных и комплексных чисел
- •1.4 Линейные пространства Rn. Векторы и операции над ними. Координаты вектора в заданном базисе
- •1.5 Понятие матрицы. Квадратные матрицы и их определители. Формулы крамера
- •Действия над матрицами
- •1.6 Топологические понятия. Последовательности. Предел и непрерывность функции
- •Арифметические свойства предела
- •1.7 Производная и дифференциал функции. Экстремум функции
- •Дифференциал
- •1.8 Первообразная, неопределенный и определенный интегралы. Формула ньютона – лейбница
- •Определенный интеграл и его свойства
- •1.9 Понятие о дифференциальных уравнениях. Задача коши
- •2 Элементарная теория вероятности
- •2.1 Предмет теории вероятности. Случайные события. Действия над случайными событиями.
- •Вероятностное пространство
- •2.2 Классическое определения вероятности. Комбинаторика
- •2.3 Статистическое определения вероятности. Частота и вероятность
- •2.4 Геометрическое определение вероятности
- •2.5 Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий
- •Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей (вероятность произведения событий)
- •2.6 Формула полной вероятности
- •2.7 Формула Байеса
- •2.8 Схема испытаний Бернулли
- •2.9 Понятие случайной величины. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •2.10 Основные законы распределения дискретных случайных величин
- •2.11 Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •2.12 Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение
- •2.13 Зависимость двух случайных величин. Коэффициент корреляции
- •2.14 Предельные теоремы теории вероятностей
- •3 Основы математической статистики
- •3.1 Предмет математической статистики. Генеральная и выборочные совокупности
- •3.2 Эмпирическое распределение. Точечные оценки параметров распределения генеральной совокупности
- •3.3 Интервальные оценки. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения
- •3.4 Проверка статистических гипотез. Проверка гипотез о законе распределения
- •4 Принципы построения математических моделей
- •5 Исследование операций и принятие решений
- •Учебное издание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Определенный интеграл и его свойства
Определенный интеграл отличается от неопределенного тем, что это либо число, либо первообразная с определенной постоянной.
Определенный интеграл
можно представить как предел некоторой
суммы
.
Здесь весь отрезок
разбит на n отрезков
,
причем
(или
,или
). Тогда
– площадь прямоугольника.
Интуитивно ясно, что при интегральная сумма стремится к площади криволинейной трапеции.
Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при стремлении максимального частичного отрезка разбиения к нулю.
Числа a и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интегрирования.
Формула Ньютона-Лейбница
Определенный интеграл находится по формуле:
.
Свойства определенного интеграла:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
,
если
на
.
Геометрический смысл определенного
интеграла: определенный интеграл
равен площади криволинейной трапеции,
ограниченной кривой
и прямыми
.
Механический смысл определенного интеграла: на графике ускорения отображает скорость, а на графике скорости отображает путь, пройденный телом при равноускоренном движении от t = 0 до момента t, если в начальный момент скорость и путь равны нулю.
Пример 7.
Вычислить площадь, ограниченную
параболами
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений
Решая квадратное уравнение, определим
его корни:
и
Тогда искомая площадь будет равна
1.9 Понятие о дифференциальных уравнениях. Задача коши
Дифференциальные уравнения – это уравнения, связывающие неизвестную функцию и ее производные.
В самом общем виде дифференциальное уравнение записывается так
.
Порядок старшей производной, входящей в состав уравнения, называется порядком уравнения.
Многие физические (и не только) уравнения имеют вид дифференциальных уравнений. Рассмотрим несколько примеров.
1. Уравнение механического движения:
,
где х=х(t)
– неизвестная функция, m
и F – известные
величины. В зависимости от условий
задачи получают различные дифференциальные
уравнения:
а) сила постоянна. Уравнение движения примет вид
б) сила периодически изменяется со
временем, например по закону
.
Уравнение движения
в) сила пропорциональна смещению
(движение идеально упругой пружины):
.
Уравнение движения:
г) сила, обратно пропорциональная
квадрату расстояния,
(свободный полет). Уравнение движения:
д) постоянная сила тяжести
и сила трения
,
пропорциональная скорости, действующие
одновременно (падение с трением).
Уравнение движения:
.
Все приведенные уравнения – дифференциальные уравнения второго порядка.
2. Радиоактивный распад. Экспериментальные
данные показывают, что скорость изменения
массы пропорциональна массе вещества
в данный момент:
.
3. Электрическая цепь. Если в
цепи, состоящей из последовательно
соединенных резистора R
и конденсатора C,
произошло короткое замыкание, то
напряжение U на
конденсаторе будет меняться по закону
.
4. Народонаселение. Представим число
жителей страны в момент времени t
как функцию L=L(t).
Допустим, что за единицу времени
народонаселение увеличивается на
определенный процент. Тогда за период
времени
появится новых жителей
.
Для скорости роста L,
таким образом, можно записать
дифференциальное уравнение
.
По такому же закону (закон естественного роста) размножаются и бактерии, и нейтроны в ядерных реакциях.
За
триста лет существования дифференциального
и интегрального исчислений появились
многие тысячи дифференциальных уравнений.
Однако замечательно то, что многие
уравнения похожи друг на друга, например,
последние три выше приведенные, т.е.
совершенно разные процессы привели к
одной и той же математической модели.
В них скорость изменения искомой функции
пропорциональна значению этой
функции
.
Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения. Методы решения разнообразны и зависят от вида этих уравнений.
Общим
решением
дифференциального уравнения называется
функция вида
.
Если
постоянным
придать конкретные числовые значения,
то полученная функция будет называться
частным
решением.
Нахождение
частного решения, удовлетворяющего
начальному условию
при
,
называется задачей
Коши.
В том случае, когда уравнение не имеет элементарного решения, используют численные методы.
Решение
уравнения
(или
)
хорошо известно:
,
где С
– произвольная постоянная. При различных
значениях С
получается семейство кривых, которые
все удовлетворяют заданному уравнению.
Если в дополнение к дифференциальному
уравнению задать значение у
для некоторого значения x,
то можно определить постоянную С.
Например, предположим, что решение
должно проходить через точку х=0,
у=1,
то есть у(0)=1.
Легко найти, что С=1
и что из всего семейства кривых только
одна удовлетворяет одновременно и
уравнению и условию.
Пример 8. Найти общее решение
дифференциального уравнения с
разделяющимися переменными
Решение. Учитывая, что
,
перепишем уравнение в виде
Разделим переменные
Проинтегрируем обе части уравнения
Общее решение
будет иметь вид