Дифференциал
Пусть имеем функцию y=f(x), определенную на промежутке D и непрерывную в точке . Тогда приращению аргумента отвечает приращение функции
,
бесконечно малое вместе с .
Большую важность имеет вопрос: существует
ли для
такая линейная однородная относительно
бесконечно малая
,
что их разность оказывается, по сравнению
с
,
бесконечно малой высшего порядка малости
,
(1)
где
есть величина, стремящаяся к нулю при
быстрее, чем
.
При
равенство (1) показывает, что бесконечно
малая
(главная часть приращения
)
эквивалентна бесконечно малой
.
В этом случае выражение
называется дифференциалом
функции и
обозначается символом
или
.
Доказывается, что для того, что бы функция
y=f(x)
в точке
имела дифференциал, необходимо и
достаточно, чтобы она была дифференцируема
в точке
(т.е. имела в этой точке конечную
производную
).
При этом
и формула (1) имеет вид
.
Итак, дифференциал всегда равен
.
Дифференциал аргумента
.
То есть приращение аргумента тождественно
равно дифференциалу аргумента. Тогда
производную функции можно выразить
через дифференциалы функции и аргумента:
.
Геометрический смысл дифференциала: в то время как есть приращение ординаты кривой y=f(x), dy является приращением ординаты касательной.
В приложениях часто бывает более удобно
работать с дифференциалом, чем с
производной в точке. Кроме того,
дифференциал – главная часть приращения
функции и может быть вычислен сравнительно
просто. Дифференциал является источником
приближенных формул, так как при
.
Подробнее:
,
откуда
.
Например, надо найти приближенно
.
Легко вычисляются значения
и
при
.
Тогда
.
1.8 Первообразная, неопределенный и определенный интегралы. Формула ньютона – лейбница
Интегральные вычисления возникли из потребности создать общий метод нахождения площадей, объемов и центров тяжести. Способ вычисления площади уходит корнями в III в. до н.э., когда Архимед изобрел метод «исчерпывания». Этот метод через две тысячи лет преобразовался в метод интегрирования.
Пусть в некоторой области определены
функции
и
.
Пусть
.
Тогда
называется производной функции
,
а
– первообразной функции
.
Любая функция имеет множество
первообразных.
По отношению к дифференцированию интегрирование является обратным действием.
Неопределенным интегралом от функции называется ее произвольная первообразная
,
если
,
где х – переменная интегрирования,
а
– подынтегральная функция.
Геометрически неопределенный интеграл представляет семейство плоских кривых, смещенных друг относительно друга вдоль вертикальной оси.
Свойства неопределенного интеграла
1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
.
2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен самой функции с точностью до произвольной постоянной
.
3. Постоянная выносится из под знака интеграла
.
4. Интеграл суммы равен сумме интегралов
.
5. Под знаком интеграла можно проводить замену переменной
.
Таблица основных интегралов получается из основных формул дифференциального исчисления путем прямого их обращения.
Так как интегрирование – действие обратное дифференцированию, то его можно проверить дифференцированием.
Всякое обратно действие сложнее прямого. Поэтому прежде чем воспользоваться таблицей интегралов приходится заданный интеграл преобразовывать к табличному. Наиболее часто используемые методы преобразования метод разложения, метод подстановки (замена переменной), интегрирования по частям.