1.7 Производная и дифференциал функции. Экстремум функции

Источником дифференциального исчисления были две проблемы:

1. О нахождении касательной к произвольной линии;

2. О нахождении скорости при произвольном законе движения.

Обе они привели к одной и той же вычислительной задаче. Она состоит в том, чтобы по данной функции f(x) отыскать другую функцию f(x), представляющую скорость изменения функции f(x) относительно изменения аргумента. В таком общем виде задача была поставлена в XVII веке Ньютоном и Лейбницем. Они ввели символику, развили аппарат дифференциального исчисления и применили его к решению многих задач геометрии и механики.

Производной функции y=f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю.

Итак, по определению

.

Наряду с обозначением для производной употребляются и другие обозначения, например: y, y_x .

Производная имеет следующие механический и геометрический смыслы.

– скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t₀ есть производная от пути по времени .

– угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀ равен значению производной этой функции в точке x₀: .

Значит уравнение касательной к графику y=f(x) в точке имеет вид

.

Нормалью в точке к линии называется перпендикуляр к касательной в точке М_0. Ее уравнение имеет вид

,

так как угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом касательной условием перпендикулярности

.

Для одной и той же функции y=f(x) производную можно вычислять в различных точках.

Функция y=f(x), имеющая конечную производную в точке x₀, называется дифференцируемой в этой точке. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в интервале , если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Справедлива следующая теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.

Теорема: если функция y=f(x) дифференцируема в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми, например функция .

Пример 6. Найти производную функции .

Решение.

Производные высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале . Тогда ее производная является функцией от х. Пусть эта производная также имеет производную. Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции f(x). Она обозначается символом или .

Вообще, производной n-го порядка функции y=f(x) называется первая производная от производной (n–1) порядка

.

Механический смысл второй производной: ускорение прямолинейного движения равно второй производной от пути по времени.

Правила Лопиталя. Понятие производной применимо для раскрытия неопределенностей типа или .

Правило 1. Пусть , (или ). Тогда, если существует предел отношения производных (или ), то существует предел отношения функций, и эти пределы равны между собой, т.е.

(или ).

Правило 2. Пусть (или ).

Тогда, если существует предел отношения производных (или ), то существует предел отношения функций, и они равны между собой, т.е.

(или ).