Арифметические свойства предела

Пусть существует и причем тогда при

Вопрос о существовании предела последовательности часто бывает сложным. Вычисление предела – это раскрытие неопределенности вида: и т.д. При этом используются так называемые замечательные пределы

Непрерывность функции и ее пределы

Приращением функции называется изменение функции при заданном приращении аргумента:

.

Функция f(x) непрерывна в точке x₀, если она определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и приращение функции в этой точке стремится к нулю при стремлении к нулю приращения аргумента: , если .

График непрерывной функции можно нарисовать, не отрывая пера от бумаги.

Точка, в которой при стремлении к нулю приращения аргумента приращение функции к нулю не стремится, называется точкой разрыва функции.

Будем считать, что функция f(x) определена во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x₀ (т.е. в окрестности точки x₀), кроме, быть может, самой точки x₀.

Число A называется пределом функции y=f(x) при , если для произвольного (сколь угодно малого) положительного числа существует такое положительное число , зависящее от , что для всех точек х из -окрестности точки x₀, исключая, быть может, саму точку x₀ (т.е. для всех, удовлетворяющих неравенству ), будет выполняться неравенство . Сказанное обозначают как .

Запишем определение предела с помощью кванторов:

Число А называют пределом функции f(x) на бесконечности (в бесконечно удаленной точке), если для найдется такое М>0, что при x>M выполняется неравенство и записывают: .

Для исследования поведения функции вблизи некоторых точек полезно знать, к чему стремится f(x), когда , оставаясь левее x₀ (т.е. при x<x₀), и когда , оставаясь правее x₀ (x>x₀). Такие пределы называются левым и правым пределом функции в точке x₀ или односторонними пределами. Обозначения: и .

Предел функции в точке x₀ существует, если предел справа равен пределу слева.

Функция y=f(x) с областью определения D называется непрерывной в точке x₀, если выполняются следующие три условия:

1. Функция y=f(x) определена в точке x₀, т.е. ;

2. Существует предел функции в точке x₀;

3. Предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке: .

Если в точке x₀ нарушено хотя бы одно из трех приведенных условий, то точка x₀ называется точкой разрыва функции y=f(x).

Функция f(x) имеет в точке x₀ разрыв первого рода, если пределы слева и справа конечны, но не равны друг другу.

Функция f(x) имеет в точке x₀ разрыв второго рода, если хотя бы один из пределов слева или справа бесконечен или не существует.

Если функция не определена в точке x₀ или нарушено условие , то точка x₀ называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x).

Пример 5. Найти предел функции .

Решение. Вычислим пределы числителя и знаменателя

Получили неопределенность типа . Для раскрытия неопределенности преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители

.

Разделим числитель и знаменатель дроби на (х–2). Это сокращение допустимо, так как при отыскании предела рассматриваются значения х 2 (это подчеркивается в определении предела). Тогда