ГОУВПО «Воронежский государственный
технический университет»
Кафедра высшей математики
и физико-математического моделирования
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы
по изучению раздела «Исследование функций
и построение графиков» курса «Математический анализ»
для студентов специальностей
230104 «Системы автоматизированного проектирования»,
230101 «Вычислительные машины,
комплексы, системы и сети»
очной формы обучения
Воронеж 2011
Составители: канд. физ.-мат. наук Е.Г. Глушко,
канд. физ.-мат. наук А.П. Дубровская
УДК 517.9
Методические указания для организации самостоятельной работы по изучению раздела «Исследование функций и построение графиков» курса «Математический анализ» для студентов специальностей 230104 «Системы автоматизированного проектирования», 230101 «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» очной формы обучения / ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Е.Г. Глушко, А.П. Дубровская. Воронеж, 2011. 39 с.
В методических указаниях содержатся основные теоретические положения по теме исследование функций и построение графиков. Приводится большое количество решенных типовых задач, задач для самостоятельного решения.
Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле Исслед.функц.doc .
Библиогр.: 5 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин
Ответственный за выпуск зав. кафедрой
д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского государственного технического университета
ГОУВПО «Воронежский государственный
технический университет», 2011
Исследование функциЙ. Построение графикОВ
§1. Возрастание и убывание функции.
Говорят,
что функция
строго
возрастает (строго
убывает)
на интервале
,
если для любых различных точек
и
из
справедливо
неравенство
т.е.
если большему значению аргумента
соответствует большее (меньшее) значение
функции.
Функция возрастает (убывает) на интервале , если для любых различных точек и из справедливо неравенство
Для
того, чтобы дифференцируемая на интервале
(a;
b)
функция
строго
возрастала на этом интервале, достаточно,
чтобы производная
была положительна всюду на
(a; b) , то есть
Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a; b) функция возрастала (не убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная была неотрицательна всюду на (a; b) , то есть
Аналогично
достаточным условием строгого убывания
дифференцируемой функции
,
является условие
необходимым и достаточным условием убывания – условие
Пример 1.1. Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1)
2)
3)
Решение.
1) Данная функция всюду дифференцируема,
причем
Так как
при
и
и
при
,
то на интервалах
и
функция строго возрастает, а на интервале
строго убывает.
2) Функция дифференцируема на всей числовой прямой, причем
Так
как
при
всех
,
то данная функция является невозрастающей
на всей числовой оси. На интервале
она постоянна, на интервале
строго убывает.
3)
Данная функция является четной, поэтому
достаточно найти интервалы монотонности
при
.
Решая при
неравенство
,
получаем
или
откуда
или
Таким
образом, на интервалах
и
функция строго возрастает. На интервалах
,
очевидно, справедливо неравенство
,
и поэтому на этих интервалах функция
строго убывает. Если
,
то, используя четность функции, получаем,
что на интервалах
функция
строго возрастает, а на интервалах
и
,
строго убывает.
Следует обратить внимание на то, что данная функция не
является
монотонной ни в какой окрестности точки
В любой окрестности этой точки содержится
счетное множество интервалов убывания
данной функции.
Задачи для самостоятельного решения.
Найти интервалы монотонности функций
1.
2.
3.
4.
5.
Ответы:
1.
возрастает;
убывает;
2.
убывает;
возрастает;
3.
убывает;
возрастает;
4. Монотонно возрастает; 5. Монотонно возрастает.