Основные понятия, формулы, правила Вычисление определителей
Матрицей называется
прямоугольная таблица, состоящая из
чисел А=
,
где
,…,
-
числа.
Если в матрице количество строк равно количеству столбцов, то матрица называется квадратной.
Определителем
(или детерминантом
)
квадратной матрицы
называется число, которое вычисляется
по формулам:
для
квадратной матрицы 2-го порядка
=
,
для квадратной матрицы 3-го порядка
=
.
Чтобы запомнить набор слагаемых для определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом Саррюса (правило треугольника):
.
Системы линейных алгебраических уравнений
Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид
, (1)
где
,…,
-
неизвестные переменные,
,
,…,
- коэффициенты при неизвестных,
,…,
-
свободные члены.
Главным определителем системы (1) называется определитель составленный из коэффициентов при неизвестных.
Решением системы (1) называется упорядоченный набор чисел ( ,…, ), который при подстановке его в уравнения системы обращает их в тождество.
Правило Крамера.
Если в системе (1) главный определитель
,
то система (1) имеет единственное решение:
,
,
где
- определитель, получаемый из основного
заменой
-го
столбца на столбец свободных членов.
(Пример смотри на стр. 24)
Векторная алгебра
Вектором называется
направленный отрезок прямой. Векторы
и
,
полученные друг из друга параллельным
переносом, не различаются. Векторы
единичной длины, направленные вдоль
координатных осей Ox,
Oy и Oz,
называются единичными ортами и
обозначаются
,
и
,
соответственно.
Суммой
и разностью
не коллинеарных векторов
и
,
называются новые векторы, которые
строятся по правилу:
Рис. 1. Правила сложения и вычитания векторов
Произведением
вектора
на число
,
называется вектор
,
который сонаправлен исходному если
,
и противоположно направлен, если
.
Длина вектора
равна
.
Всякий вектор
в пространстве
может быть представлен в виде
,
либо
(на плоскости, соответственно,
и
).
Числа
называются координатами вектора
в пространстве
и являются проекциями вектора на
соответствующие координатные оси.
Действия с
векторами, представленными в координатной
форме
и
,
производится следующим образом:
,
.
Длина вектора
вычисляется по формуле
.
Направляющими
косинусами вектора
,
называют косинусы углов
,
образуемых вектором с осями координат
Ox, Oy
и Oz. Они вычисляются
по формулам
,
,
.
Скалярным
произведением векторов
и
называется число
,
где
(
- угол между векторами
и
).
Свойства скалярного произведения векторов:
1. Коммутативность:
;
2. Ассоциативность:
;
3. Скалярный квадрат
векторов:
;
4. Если
,
то
;
5. Дистрибутивность:
.
Из указанных свойств вытекают следствия:
координатная форма вычисления скалярного произведения векторов
;проекция вектора на направление вектора равна
;
угол между двумя векторами
и
определяется по формуле
.