Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»
Линейная алгебра
Методические указания и контрольные задания
для студентов, обучающихся по образовательным программам
бакалавров и магистрантов всех направлений
Воронеж 2014
УДК 51.07
ББК 22.143я7
Составители:
Л.В. Акчурин, А.Б. Кущев
Линейная алгебра: методические указания и контрольные задания по курсу математики / Воронежский ГАСУ; сост.: Л.В. Акчурина, А.Б. Кущев. – Воронеж, 2014. – 32 с.
Методические указания содержат краткие теоретические сведения по алгебре матриц и решению систем линейных уравнений, нахождению собственных чисел и собственных векторов линейных преобразований, решение типовых задач, а также индивидуальные задания для студентов очной и заочной форм обучения. Приведены 25 вариантов контрольных заданий.
Предназначены для студентов всех специальностей.
Библиогр.: 10 назв.
УДК 51.07
ББК 22.143я7
Печатается по решению научно-методического совета
Воронежского ГАСУ
Рецензент – В.Д. Коробкин, д. ф.-м .н., проф. кафедры строительной физики
и инженерной механики Воронежского ГАСУ
Введение
В последние годы все больше возрастает роль линейной алгебры в различных разделах математики и техники. При изучении студентами строительных специальностей таких дисциплин как строительная механика, строительные конструкции, теплотехника, математическое моделирование и др., существенно используются линейные преобразования и действия над матрицами.
Настоящие методические указания предназначены для того, чтобы помочь студенту всех форм обучения овладеть приемами и методами решения задач по теме: “Линейная алгебра”, а также обеспечить самостоятельность выполнения типового расчета и контрольных работ. Характер и объём заданий подходит как для аудиторной, так и внеаудиторной самостоятельной работы студентов и магистров.
Материал методических указаний содержит:
Краткие теоретические сведения;
Решения типовых задач;
Варианты контрольных заданий типового расчета.
Студенту перед каждым практическим заданием рекомендуется:
Изучить по учебнику и по конспекту лекций теоретический материал по соответствующему разделу темы “Линейная алгебра”;
Запомнить теоретические сведения (определения, формулы, теоремы), разобрать решения типовых примеров и затем самостоятельно решить свой вариант контрольных заданий.
1. Операции над матрицами
Прямоугольная таблица из чисел
(
)
вида
, (1)
состоящая из
строк и
столбцов, называется матрицей порядка
.
Элемент матрицы
располагается на пересечении
-ой
строки и
-го
столбца.
Квадратной матрицей порядка
называется матрица порядка
,
т.е. матрица, у которой число строк и
столбцов совпадает.
Единичной называется квадратная матрица
вида
.
Матрица, полученная из исходной путем
замены каждой ее строки столбцом с тем
же номером (или наоборот), называется
транспонированной матрицей, и обозначается
:
=
.
Сложение и вычитание матриц
и
одного порядка совершается почленным
сложением (вычитанием) соответствующих
элементов исходных матриц, при этом
(
)
есть матрицы, составленная из чисел
(
) (2)
где
.
Для умножения матрицы
на число
нужно каждый элемент матрицы умножить
на это число
,
(3)
где . Очевидно, что на число может быть умножена матрица любого порядка.
Произведением матриц
и
называется матрица
,
каждый элемент которой
равен сумме произведений элементов
-ой
строки первой матрицы
на соответствующие элементы
-ого
столбца второй матрицы
,
т.е.
,
(4)
где
,
по формулам для вычисления скалярного
произведения. Важно отметить, произведение
матриц вводится лишь в том случае, если
количество столбцов первой из перемножаемых
матриц равно числу строк второй матрицы.
Для матриц справедливы все алгебраические
свойства, кроме коммутативности, т.е.
обычно
.
Если
,
то матрицы
и
называются перестановочными.
Как в обычной алгебре целой положительной
степенью
квадратной матрицы
называется произведение
.
Пример 1. Даны матрицы А =
;
B =
.
Найти матрицу
,
удовлетворяющую условию
.
Решение. Из условия , выразив , получим
=
+
=
.
Пример 2. Найти произведения
,
и
матриц, если заданы матрицы А
=
,
В =
и
.
Решение. Согласно определению произведения
матриц, имеем
=
=
.
=
= (21
+ 44
+ 13)
=
=(2 + 16 + 3) =( 21).
Сравнивая результаты, замечаем, что в
данном примере
.
=
=
=
.