Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»

Линейная алгебра

Методические указания и контрольные задания

для студентов, обучающихся по образовательным программам

бакалавров и магистрантов всех направлений

Воронеж 2014

УДК 51.07

ББК 22.143я7

Составители:

Л.В. Акчурин, А.Б. Кущев

Линейная алгебра: методические указания и контрольные задания по курсу математики / Воронежский ГАСУ; сост.: Л.В. Акчурина, А.Б. Кущев. – Воронеж, 2014. – 32 с.

Методические указания содержат краткие теоретические сведения по алгебре матриц и решению систем линейных уравнений, нахождению собственных чисел и собственных векторов линейных преобразований, решение типовых задач, а также индивидуальные задания для студентов очной и заочной форм обучения. Приведены 25 вариантов контрольных заданий.

Предназначены для студентов всех специальностей.

Библиогр.: 10 назв.

УДК 51.07

ББК 22.143я7

Печатается по решению научно-методического совета

Воронежского ГАСУ

Рецензент – В.Д. Коробкин, д. ф.-м .н., проф. кафедры строительной физики

и инженерной механики Воронежского ГАСУ

Введение

В последние годы все больше возрастает роль линейной алгебры в различных разделах математики и техники. При изучении студентами строительных специальностей таких дисциплин как строительная механика, строительные конструкции, теплотехника, математическое моделирование и др., существенно используются линейные преобразования и действия над матрицами.

Настоящие методические указания предназначены для того, чтобы помочь студенту всех форм обучения овладеть приемами и методами решения задач по теме: “Линейная алгебра”, а также обеспечить самостоятельность выполнения типового расчета и контрольных работ. Характер и объём заданий подходит как для аудиторной, так и внеаудиторной самостоятельной работы студентов и магистров.

Материал методических указаний содержит:

1. Краткие теоретические сведения;

2. Решения типовых задач;

3. Варианты контрольных заданий типового расчета.

Студенту перед каждым практическим заданием рекомендуется:

1. Изучить по учебнику и по конспекту лекций теоретический материал по соответствующему разделу темы “Линейная алгебра”;

2. Запомнить теоретические сведения (определения, формулы, теоремы), разобрать решения типовых примеров и затем самостоятельно решить свой вариант контрольных заданий.

1. Операции над матрицами

Прямоугольная таблица из чисел ( ) вида

, (1)

состоящая из строк и столбцов, называется матрицей порядка . Элемент матрицы располагается на пересечении -ой строки и -го столбца.

Квадратной матрицей порядка называется матрица порядка , т.е. матрица, у которой число строк и столбцов совпадает.

Единичной называется квадратная матрица вида .

Матрица, полученная из исходной путем замены каждой ее строки столбцом с тем же номером (или наоборот), называется транспонированной матрицей, и обозначается : = .

Сложение и вычитание матриц и одного порядка совершается почленным сложением (вычитанием) соответствующих элементов исходных матриц, при этом ( ) есть матрицы, составленная из чисел

( ) (2)

где .

Для умножения матрицы на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число

, (3)

где . Очевидно, что на число может быть умножена матрица любого порядка.

Произведением матриц и называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки первой матрицы на соответствующие элементы -ого столбца второй матрицы , т.е.

, (4)

где , по формулам для вычисления скалярного произведения. Важно отметить, произведение матриц вводится лишь в том случае, если количество столбцов первой из перемножаемых матриц равно числу строк второй матрицы.

Для матриц справедливы все алгебраические свойства, кроме коммутативности, т.е. обычно . Если , то матрицы и называются перестановочными.

Как в обычной алгебре целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение .

Пример 1. Даны матрицы А = ; B = .

Найти матрицу , удовлетворяющую условию .

Решение. Из условия , выразив , получим

= + = .

Пример 2. Найти произведения , и матриц, если заданы матрицы А = , В = и .

Решение. Согласно определению произведения матриц, имеем =  = . =  = (21 + 44 + 13) =

=(2 + 16 + 3) =( 21).

Сравнивая результаты, замечаем, что в данном примере .

= = = .