10. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение

, (10.1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,у) в односвязной области, т.е. если существует такая функция U(x,у), что

=

В таком случае уравнение (10.1) можно переписать в виде , тогда его общее решение определяется равенством

.

Теорема. Пусть функции непрерывны вместе со своими частными производными . Для того, чтобы уравнение (10.1) было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

(10.2)

Необходимость. Если (1) является уравнением в полных дифференциалах, то

(10.3)

Тогда

В силу непрерывности частных производных вторые смешанные производные здесь равны, откуда и следует (10.2).

Достаточность. Покажем теперь, что если условие (10.2) выполнено, то уравнение (10.1) является уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию U(x,у) из одного из равенств

Например, интегрируя первое из них по х, определим функцию U(x,y) с точностью до произвольной дифференцируемой функции, зависящей от у

(10.4)

Здесь с(у) - произвольная функция .Теперь определим с(у) таким образом, чтобы U(x,у) удовлетворяла и второму из равенств. Дифференцируя (10.4) по у с учетом второго из равенств (2), получаем уравнение для определения функции с(у):

Можно для определения функции U(x,у) использовать формулу, доказываемую в курсе математического анализа

.

При этом в последней формуле нижние пределы интегралов и произвольны; их выбор ограничен единственным условием – интегралы в правой части этой формулы должны иметь смысл (т.е. не быть расходящимися несобственными интегралами второго рода).

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Имеем

=

Итак,

.

Условие теоремы (2) выполнено.

Далее, находим функцию U(x,у)

так что или

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах

,

т.е. имеем уравнение в полных дифференциалах

Следовательно,

,

.

Таким образом, общий интеграл данного дифференциального уравнения имеет вид

.

Пример 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение. Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах

Найдем теперь вторую производную

Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поэтому интегрируя Р(х,у) по переменной х с точностью до произвольной функции получим

= .

Определим теперь :

Поэтому таким образом, окончательно, получаем общий интеграл уравнения

При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

(10.5)

Решение. Здесь , , следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Но это уравнение легко привести к виду du = 0 непосредственной группировкой его членов. С этой целью перепишем его так:

Здесь ,

Поэтому уравнение (10.5) можно записать в виде

или

Следовательно,

есть общий интеграл уравнения (10.5).