Решение. Запишем уравнение в виде
.
Так
как уравнение однородное, то положим
или y=ux.
Тогда
.
Подставляя в уравнение выражение для
y
и
,
получим
.
Далее, разделяя переменные
,
и интегрируя, находим
(С1 > 0) или
.
Так
как
,
то обозначая
,
получим
,
где
или
.
Заменяя u
на
,
будем иметь общий интеграл:
.
Отсюда,
общее решение будет иметь вид:
.
При
разделении переменных мы делили обе
части уравнения на произведение
,
поэтому могли потерять решения, которые
обращают в нуль его сомножители. Положим
теперь x=0
и
.
Но
x=0
не является решением уравнения, а из
второго получаем, что
,
откуда
.
Непосредственной проверкой убеждаемся,
что функции
и
являются решениями уравнения.
Следовательно, функции и являются особыми решениями данного уравнения.
2. Уравнения, приводящиеся к однородным
К однородным уравнениям приводятся и уравнения вида
Если
то полагая x = u+,
y = v+
(постоянные и
определяются из системы уравнений
получим однородное дифференциальное уравнение относительно переменных u и v.
При
получим уравнение с разделяющимися
переменными.
Пример 3. Решить уравнение
.
(7.1)
Решение. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:
Определитель этой систем:
.
Следовательно,
система имеет единственное решение
,
.
Делаем замену
,
.
Тогда уравнение (1) примет вид
(7.2)
Уравнение
(7.2) является однородным уравнением.
Полагая
,
получим
Откуда, разделяя переменные
.
И, интегрируя, находим
;.
Возвращаясь к переменным x, y, получаем общий интеграл
.
Выполняя преобразования, окончательно, получаем
.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Система линейных алгебраических уравнений
несовместна. Определитель системы:
В этом случае метод, применённый в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения используем подстановку
.
Уравнение примет вид
Разделяем переменные, тогда
.
Интегрируя
и возвращаясь к переменным x, y, получаем общий интеграл данного уравнения
.
3.Обобщенные однородные уравнения
Уравнение
называется
обобщенным однородным уравнением, если
существует такое число
,
что левая часть уравнения становится
однородной функцией от величин х,
у, dx,
dy,
при условии, что они считаются величинами
соответственно первого, m-го,
нулевого и (m-1)-го
измерений.
Такие уравнения можно привести к
однородным заменой
.
Число
обычно
заранее не известно. Чтобы его найти,
надо в уравнении приравнять измерения
вех членов . Если же этого сделать нельзя,
то уравнение не приводится к однородному
этим способом.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Функции, стоящие перед дифференциалами должны быть однородными функциями одного порядка, поэтому для определения числа m получаем систему уравнений
,
имеющую
очевидное решение
.
Выполняя
замену
приходим
к однородному уравнению
.
.
Разделяя переменные и интегрируя,
-
;
,
получаем
,
Окончательно, выполняя преобразования и возвращаясь к независимой переменной, получаем общий интеграл в виде
