6. Уравнения с разделяющимися переменными
1.Неполные уравнения.
Общее
решение простейшего дифференциального
уравнения
в предположении непрерывности функции
на некотором отрезке [а,b]
имеет вид
.
Если задать в полосе а<x<b
точку
,
то через нее будет проходить одна и
только одна интегральная кривая
.Все
остальные получаются сдвигом одной
интегральной кривой, параллельным оси
Оу.
2.
Уравнение вида
называется автономным, оно сводится к
предыдущему случаю, если переменные х
и у
поменять
местами. Запишем уравнение в виде
(6.1)
Все интегральные кривые содержатся в формуле
Это и есть общий интеграл уравнения (6.1). Все интегральные кривые получаются сдвигом одной интегральной кривой, параллельным оси Ох. Если f(y) обращается в нуль при у = d, то функция у = d, очевидно, будет решением уравнения (6.1), это решение может оказаться особым.
2. Уравнения с разделенными переменными
1.Наиболее простым дифференциальным уравнением первого порядка является, уравнение вида
,
где
каждая из функций
и
зависит только от одной переменной.
Такие дифференциальные уравнения
называют уравнениями с
разделенными переменными.
Проинтегрировав
почленно это уравнение, получаем
его общий интеграл:
.
3. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными в дифференциальной форме имеют вид
.
Уравнение
легко сводится к предыдущему уравнению
путем почленного деления
его на
,
после чего может быть получен общий
интеграл:
,
.
При
проведении почленного деления
дифференциального уравнения на
могут быть
потеряны некоторые решения. Поэтому
следует отдельно решить уравнение
и найти
особые решения
дифференциального
уравнения,
которые не принадлежат семейству общего
решения.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными, записанные, как разрешенные относительно производной, имеют вид
(6.2)
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
Пример1.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
Решение:
Разделим переменные
.
Интегрируя, находим
т.е.
или
Отсюда
получаем общее решение:
Пример 2. Найти общий интеграл уравнения
Решение. Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяем переменные
Интегрируя левую часть этого уравнения по у, а правую по х, получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
,
Особых решений нет.
Пример 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения:
.
Делим
обе части уравнения на
:
.
Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения
или
.
Здесь
уравнение
имеет вид
.
Его решения
,
являются решениями данного дифференциального
уравнения, но не входят в общий интеграл.
Значит, решения
являются особыми решениями.
4. Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
К уравнениям с разделяющимися переменными могут быть приведены и уравнения вида
.
Вводя замену z = at+bx, получим уравнение относительно переменных z и x
