II. Дифференциальные уравнения высших порядков
Уравнения, допускающие понижение порядка
Дифференциальное уравнение
(11)
называется уравнением п-го порядка.
Его общее решение содержит п
произвольных постоянных:
,
а решение задачи Коши требует задания
при х = х0 значений функции у
и ее производных до (п–1)-го порядка
включительно:
Рассмотрим основные виды дифференциальных уравнений, решаемые понижением порядка производной.
Уравнение вида
(12)
решается n– кратным интегрированием. После этого получается общее решение.
Пример 14. Найти общее решение
уравнения
.
Решение.
,
,
.
Пусть в дифференциальное уравнение не входит явным образом искомая функция у, то есть уравнение имеет вид:
,
(13)
то можно понизить его порядок на k
единиц, сделав замену:
Тогда
Пример 15. Найти общее решение
уравнения
Решение. Пусть
Тогда
Теперь трижды проинтегрируем полученное равенство по х:
3. Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимую переменную х:
(14)
то можно понизить его порядок на единицу,
считая, что
Тогда
,
то есть вторая производная у
выражается через первую производную р
и т.д.
Пример 16. Решить задачу Коши для
уравнения
,
если у(1)=2, у’(1)=2.
Решение. Делаем замену
.
Она приводит к уравнению
откуда:
а) р = 0, у’ = 0, у = С, но у’ (1)=2 ≠ 0, значит, в этом случае решения нет;
б)
Тогда
Следовательно, искомое частное решение
имеет вид:
Задания для самоконтроля: Решить уравнения.
1.
.
Ответ:
.
2.
.
Ответ:
.
3.
.
Ответ:
.
4.
.
Ответ:
.
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
(15)
где а1,…, ап – постоянные.
Решение уравнения (15) находим в виде
- подстановка Эйлера (16)
- неизвестная постоянная. Подставляя
(16) в (15), получим уравнение
,
(17)
которому удовлетворяет .
Уравнение (17) называется характеристическим уравнением.
Пусть
- корни уравнения (17), причем среди них
могут быть и кратные.
Возможны следующие случаи:
- вещественные и различные
Тогда фундаментальная система решений
уравнения (15) имеет вид
и общим решением искомого уравнения
будем
.
Корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные. Пусть, например,
,
т. е.
– является
– кратным корнем уравнения (17), а остальные
корнем различные.
Фундаментальная система решений в этом случае имеет вид
,
а общее решение
Среди корней характеристического уравнения есть комплексные числа.
Пусть для определенности
а
остальные корни вещественные (комплексные
корни попарно сопряженные, т. к. по
предположению коэффициенты уравнения
(17)
– вещественные).
Фундаментальная система решений имеет вид
а общее решение
в случае, если
является
–
кратным корнем уравнения (17), то
также будет
–
кратным корнем и фундаментальная
система решений будет иметь вид
а общее решение
В частности, характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка
(18)
является квадратным:
.
Поэтому общее решение уравнения (18)
может иметь один из трех видов:
а) если дискриминант характеристического
уравнения
а
его
различные действительные корни, то
решение уравнения (18) выглядит так:
; (19)
б) если D = 0, характеристическое уравнение имеет один корень λ0, и общее решение уравнения (18) имеет вид:
;
(20)
в) при D < 0
характеристическое уравнение имеет
комплексно сопряженные корни
,
а общее решение уравнения (18) записывается
в форме:
(21)
Пример 17. Найти общее решение
уравнения
.
Решение. Составим и решим
характеристическое уравнение:
Значит, общее решение записывается в
виде (19):
.
Пример 18. Найти общее решение
уравнения
Решение. Характеристическое уравнение
имеет один действительный корень λ
= 0 кратности 3 и два комплексно сопряженных
корня: - 2 ± 3i. Поэтому,
так как е0∙х = 1, общее
решение записывается в форме (20) и (21):
.
Задания для самоконтроля: Проинтегрировать следующие однородные линейные уравнения.
1.
.
Ответ:
.
2.
.
Ответ:
.
3.
.
Ответ:
.
4.
Ответ:
,
