7. Раскрытие неопределенности вида
Этот вид неопределенности приводится
к виду
или
с помощью тождественных преобразований.
Замечание. Неопределенности
вида
и
называют классическими.
Примеры
Вычислить пределы:
1. Найти
.
Умножим и разделим данное выражение на
сопряженное ему, т.е. на
.
2.
.
В этом случае достаточно привести дроби к общему знаменателю.
.
8. Раскрытие неопределенности вида
Этот вид неопределенности тоже относится к классическим, если один из множителей опустить в знаменатель знаменателя, т.е. привести к "трехэтажной" дроби.
Например,
Примеры
Вычислить пределы:
1.
(выделен первый замечательный предел).
3.
Найти:
.
Полагая
,
получаем
(выделен первый замечательный предел).
9. Раскрытие неопределенности вида
Такие
неопределенности возникают при вычислении
пределов степенно-показательных функций:
,
если
Неопределенности этого вида раскрывают при помощи второго замечательного предела, используя его в структурном виде (15).
(17)
Пример 1
Найти
,
т.к. в рамке вы
делен второй замечательный предел. В более сложных случаях удобно вводить замену переменной.
Пример 2
Найти
Имеем
.
Положим
.
Тогда
и при
,
,
Предел круглой скобки:
.
Пример 3
Найти
.
(выделен второй замечательный предел,
учитывая, что если
,
то и
).
Пример 4
Найти
Это неопределенность вида
,
т.к.
.
Д
ля
того чтобы раскрыть эту неопределенность,
представляем основание степени в виде
(1+
),
а в показателе выделим множитель : :
В рамке выделен второй замечательный
предел, т.к. если
,
то
.
Рассмотрим несколько примеров, в которых для раскрытия неопределенностей применяются "важные пределы" (10–14).
Примеры
1. Вычислить
.
Положим
,
,
тогда
.
.
Использовали «важный предел» (11) в структурном виде
.
2. Вычислить
.
Применили предел (12): .
3. Вычислить
.
П
рименили
предел (13) в структурном виде
.
В рамке выделен первый замечательный предел.
10. Применение бесконечно малых к раскрытию неопределенностей
Функция
называется бесконечно малой функцией
[1, 3, 11], если ее предел равен нулю, т.е.
или пишут
.
Но бесконечно малые функции могут стремиться к нулю по-разному: одни – быстрее, другие – медленнее. Для сравнения бесконечно малых функций вычисляют предел их отношения.
Говорят,
что бесконечно малые функции
и
называются бесконечно малыми одного
порядка малости, если предел их отношения
равен некоторому числу
,
отличному от нуля, т.е.
.
(18)
Пример
Найдем
,
следовательно, sin7
и
являются бесконечно малыми одинакового
(одного) порядка малости.
Если
же
,
т.е.
,
то бесконечно малая
называется бесконечно малой более
высокого порядка по сравнению с
или бесконечно малая
называется бесконечно малой меньшего
порядка малости по сравнению с
.
В
этом случае используют условное
обозначение:
при
и читают:
есть
«о» малое от
при
.
Пример
Найдем
,
следовательно,
есть бесконечно малая более высокого
порядка малости, чем
(
стремится к нулю быстрее, чем
).
Бесконечно
малые функции
и
называются эквивалентными
(равносильными),
если
.
Эквивалентные бесконечно малые обозначают
так:
.
(19)
Пример
Так
как
,
то
и
– эквивалентные бесконечно малые
функции:
~
.
Из определения следует, что эквивалентные бесконечно малые функции имеют одинаковый порядок малости.
Равенство отношений двух бесконечно малых и эквивалентных им функций следует из следующей теоремы
Теорема
Если
,
при
и существует
,
то существует
,
причем
= . (20)
Кратко эта теорема формулируется следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций.
Эта теорема позволяет во многих случаях упрощать отыскание пределов (раскрывать неопределенности). Смысл этого метода заключается в том, что, заменяя отношения данных функций отношением эквивалентных им функций, пределы этих отношений не изменяются, но вместо неопределенности получаем сразу конечный (или бесконечный) предел.
Замечание.
Все рассуждения и формулы верны для
любых предельных значений:
,
,
,
.
Легко
установить эквивалентность следующих
функций при
:
(21)
Примеры
С помощью эквивалентных бесконечно малых найти пределы.
1.
Найти
.
Решение
Имеем неопределенность вида .
При
функция
бесконечно малая и
,
т.к.
Заменяя
эквивалентной ей
,
получаем
.
Найти
.
Решение
Так
как
,
то заменяя в числителе данную бесконечно
малую ей эквивалентной, получим
.
3.
Найти
.
Решение
Так
как
,
то
.
При
,
,
,
.
Поэтому, заменяя данные функции на эквивалентные, получаем
.
4.
Найти
.
Решение
Поскольку
,
а (
,
то
.
5.
Найти
.
Решение. Преобразуем числитель и знаменатель, а потом заменим эквивалентными.
Так
как
,
,
то
,
т.к.
.
Получим
.
6.
Найти
.
Решение
Так
как
,
то
.
Но
при
функция (
)
– бесконечно малая, тогда
.
Замечание.
Если
,
то в ряде случаев удобно сначала ввести
бесконечно малую функцию
(или
).
Пример
Найти
.
Решение
Здесь числитель и знаменатель функции бесконечно малые.
Однако
х
не является бесконечно малой функцией
(стремится не к нулю, а к ),
поэтому соотношение
не имеет смысла.
Введем
бесконечно малую
,
тогда
и
.
Найти
.
Это
неопределенность вида
.
Сделаем
предварительно замену переменной. Если
ввести обозначение
,
то
при
,
тогда
.
Замечание.
При вычислении пределов выражений вида
,
где
,
а
(неопределенность вида (
),
удобно применить формулу (4):
.
(22)
Эта формула следует из свойств логарифмов:
.
Примеры
1.
Найти
.
Так
как при
,
и
,
пользуясь формулой (10), получим
.
2.
Найти
=
.
Найти
.
При
,
т.к. разность
бесконечно малая функция более высокого
порядка по сравнению с
и с
.
Аналогично
.
Поэтому
.