2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция называется бесконечно малой при , если ее предел в этой точке равен нулю, т.е.

. (3)

Аналогично определяются бесконечно малые функции при .

Из свойств пределов [1, 2, 4] следует, что сумма, разность и произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Об отношении двух бесконечно малых функций такого общего заключения сказать нельзя.

Отношение двух бесконечно малых функций в зависимости от характера функций в числителе и знаменателе может оказаться равным либо конечному числу, либо бесконечно малой или бесконечно большой функции.

В этом случае говорят о "неопределенном выражении" или "неопределенности" типа (вида) (символическая запись отношения двух бесконечно малых функций). Вычисление таких пределов называется "раскрытием неопределенностей".

Пример

Найти .

Решение

Непосредственная подстановка предельного значения в функцию приводит к неопределенности вида . Чтобы вычислить этот предел, т.е. раскрыть полученную неопределенность, выполним преобразование:

разложим выражение, стоящее в числителе, на простые множители.

Тогда получим

=

Сокращение дроби на законно, т.к. условие предполагает (мы сокращаем, т.е. делим числитель и знаменатель не на ноль, а на бесконечно малую величину).

Определение. Функция, обратная бесконечно малой, называется бесконечно большой при , т.е. если – бесконечно малая, то – бесконечно большая функция.

(4) (аналогично при или при , или ).

Это означает, что по мере стремления к значения функция неограниченно возрастают и могут по модулю превзойти любое положительное число N, как бы велико оно ни было. Предел бесконечно большой функции равен бесконечности.

Примером бесконечно больших функций могут служить функции:

;

при , так как .

Из теорем о пределах [1, 2, 4] следует, что сумма (но не разность!) и произведение (но не частное!) двух бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.

О разности и отношении двух бесконечно больших функций никакого общего заключения сделать нельзя.

В зависимости от характера изменения бесконечно больших функций их отношение или разность может оказаться либо числом, либо бесконечно малой, либо бесконечно большой величиной. В этих случаях говорят о "неопределенных выражениях" или "неопределенностях" вида или вида .

Замечание. Из определения бесконечно большой функции следует, что функция, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая, т.е., если

, то . (5)

Существуют и другие выражения, дающие "неопределенные выражения" (неопределенности) таких типов, как , , , читаются соответственно: «один в степени бесконечности», «ноль в степени бесконечности», «ноль в степени ноль», «бесконечность в степени ноль»).

Неопределенности указанных типов могут быть получены от пределов следующих выражений:

1. Если и , то

2. Если и , то .

3. Если и , то .

4. Если и , то .

Замечание. Во всех рассмотренных пределах и в дальнейшем предельное значение аргумента может быть любым, т.е. , . Сводя воедино все типы рассмотренных неопределенностей, их можно представить так:

Для раскрытия неопределенностей часто применяют так называемые "замечательные пределы" [1, 4, 6].