Учебное пособие 2207

соответственно наружный и внутренний диаметры кольцевого сечения; k d0 / D . По условию прочности (2.3) выполняют три вида расчетов: проверочный,

проектный и расчет грузоподъемности.

Проверочный расчет заключается в непосредственной проверке выполнения условия (2.3).

Для выполнения проектного расчета (определения требуемых размеров сечения) из (6.3) получаем

моментов устанавливают допустимые значения внешних (скручивающих) моментов.

При кручении вала угол поворота одного сечения относительно другого называется углом закручивания участка вала, расположенного между этими

12

вала, расположенных между сечениями, между которыми определяется угол закручивания.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины вала, называют относительным углом закручивания и рассчитывают по соотношению

Здесь и - допустимые значения относительного и абсолютного углов закручивания.

На основании условий (4.10) проводят те же три вида расчетов, что и на основании условия прочности (4.3).

Задача 2.1

(Построение эпюр крутящих моментов и максимальных касательных напряжений в сечениях статически определимого вала, определение диаметра

вала и углов закручивания его сечений (задача № 2 КР №1)

К ведомым шкивам равномерно вращающегося стального вала постоянного кругового сечения (рис. 2.2) приложены заданные моменты M1, M 2 ,M3 и момент

M. Требуется:

1.Определить момент M на ведущем шкиве.

2.Построить эпюру крутящих моментов.

Таблица 2.1

3. При значении = 80 МПа определить диаметр вала сплошного сечения из расчета на прочность и округлить его величину до целого значения в мм, кратного пяти.

4. Построить эпюру углов закручивания сечений вала относительно крайнего левого сечения, приняв модуль сдвига равным G 8,0*104 МПа. Данные взять из таблицы 2.1.

Величины моментов Mi даны в Н*м, размеры a, b c метрах. Символы kMi задают направления моментов M i : при kMi равном 1 направление M i совпадает с направлением, указанном на расчетной схеме (рис. 2.2), в противном случае направление M i противоположно направлению, указанному на расчетной схеме (рис. 2.2). Направление момента M определяется из уравнения равновесия моментов сил, приложенных к валу.

13

Решение Определение момента М на ведущем

шкиве.

Определение диаметра вала.

Из анализа эпюры крутящего момента следует, что на втором участке крутящий момент максимален по абсолютному значению и равен Mк мах = 3 кНм.

Условие прочности вала при кручении имеет вид

max Mкmax /Wк ,

где Wк d3 / 16 - момент сопротивления сечения вала при кручении. Расчетный диаметр вала

14

Задача 2.2

(Определение диаметров сечений и деформаций ступенчатого стержня при кручении (задача № 2 КР №1))

На рис. 2.3, изображен стальной ступенчатый вал имеющий круглое поперечное сечение и нагруженный четырьмя моментами Τ1 6кН м ,

Τ2 5кН м, Τ3 2кН м, Τ1 1кН м.

Рис. 2.3

Левый конец вала жестко защемлен в опоре, а правый конец свободен. Допускаемое касательное напряжение 40МПа , модуль сдвига материала вала G 8 104 МПа, расстояния а в с 0,2м.

Подобные задачи решаются в следующем порядке. а) Определение момента в опоре.

Вал имеет четыре участка. Крутящий момент ΜΚ в поперечных сечениях вала определяем методом сечений. При этом следует рассматривать все участки вала.

1 участок, z a.

Рассечём мысленно вал на две части поперечным сечением, отстоящем на расстоянии z от левого его конца (рис. 2.3 б), отбросим правую часть вала и её действие на левую часть вала заменим крутящим моментом ΜΚI , направленным против хода часовой стрелки при взгляде на сечение со стороны внешней нормали

16

к сечению. Составим уравнение равновесия для оставшейся левой части вала, а именно, приравняем нулю сумму моментов относительно оси :

0, ΜΚI Τ0 0 , ΜΚI Τ0 4кН м.

Рассуждая аналогично, получим 2 участок, a z (a b), рис. 4.3, в

3участок, (a b) z (a b c), рис. 4.3, г

0, ΜΚIII Τ0 Τ1 Τ2 0 , ΜΚIII Τ0 Τ1 Τ2 3кН м.

4участок, (a b с) z (2a b c), рис. 4.3, д

0, ΜΚIV Τ0 Τ1 Τ2 Τ3 0, ΜΚIV Τ0 Τ1 Τ2 Τ3 1кН м.

Таким образом, на каждом из участков крутящие моменты постоянны. Эпюра крутящих моментов ΜK приведена на рис. 2.3 е

в) Определение диаметров d1 , d2 вала из расчёта на прочность. Расчёт на прочность проводится по схеме

На 4 участке

17

Эпюра напряжений max приведена на рис. 4.3 ж

г) Построение эпюры углов взаимного поворота сечений (углов закручивания) .

Так как на каждом из четырёх участков вала величины ΜΚ , G , J постоянны, то из формулы (2.7) следует; что угол линейно меняется по длине вала. Угол поворота левого (закреплённого) поперечного сечения вала равен нулю; а

Эпюра углов поворота сечений вала приведена на рис. 2.3, з.

18

3. Занятие №3

Касательные напряжения действуют в площадках в окрестности точки нагруженного тела и обозначаются символами xy , yz , zx yx , zy , xz . Здесь

первый индекс указывает ось, ортогональную площадке на которой действует касательное напряжение. Второй индекс указывает ось, параллельно которой направлен вектор касательного напряжения. Касательное напряжение считается положительным, если оно, действуя на площадке с внешней нормалью, направленной в сторону (противоположно) оси, указанной первым индексом напряжения направлено в сторону (противоположно) оси указанной вторым индексом. Все касательные напряжения, указанные на рис. 3.1 являются положительными.

Согласно закону парности касательных напряжений, составляющие касательных напряжений, действующие на двух взаимно-перпендикулярных площадках и нормальные к линии их пересечения, равны и направлены к этой линии или от нее.

Напряженное состояние в точке математически описывается тензором напряжений

Элементарные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными. Все три главные площадки взаимно перпендикулярны. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются

19

Значения главных напряжений являются экстремумами нормальных напряжений, действующих на всех площадках, проходящих через рассматриваемую точку тела.

Если все три главных напряжения отличны от нуля, то напряженное состояние называется трехосным (объемным). Если от нуля отличается только одно из главных напряжений, то напряженное состояние называют одноосным (линейным). Если от нуля отличны два каких - либо главных напряжения, то напряженное состояние называется двухосным (плоским).

Ниже рассматривается плоское напряженное

состояние, когда на площадках, параллельных оси z все напряжения отсутствуют, т. е. z zx zy 0. Для упрощения записи используются следующие

обозначения yx x , xy y . Указанное плоское напряженное состояние условно

изображено на рис. 3.2.

Величины главных (экстремальных) напряжений в случае плоского напряженного состояния находят из выражения

где x, y - нормальные напряжения, действующие в направлениях координатных осей x, y ; xy y - касательные напряжения, параллельные осям x, y .

Положение нормали к главной площадки относительно оси x определяется углом 0 , величина которого находится по формуле

Для определения положения главной площадки с напряжением max необходимо площадку, на которой действует большее (в алгебраическом смысле) нормальное напряжение, повернуть на угол 0 в направлении, в котором вектор касательного напряжения, действующего на этой площадке, стремиться вращать элементарный параллелепипед относительно его центра.

Максимальное касательное напряжение определяется по формуле

Главные напряжения в случае объемного напряженного состояния определяются из характеристического уравнения тензора напряжений

Задача 3.1

(Определение главных напряжений и главных площадок при плоском (двумерном) напряженном состоянии)

Стальной кубик (рис. 3.3) находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нулю).

Требуется найти:

главные напряжения и направления главных площадок;

20