Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к математическим моделям специальных дисциплин. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

3. В симметрической форме уравнения с разделяющимися переменными имеют вид:

этим решениям интегральные кривые – прямые, параллельные

20

2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

1. К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся однородные уравнения после выполнения замены неизвестной функции на новую функцию.

Определение. Однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

f (x, y) представляет собой однородную функцию переменных

x и y нулевой степени однородности f (tx,ty) t 0 f (x, y) . В

этом случае функция зависит лишь от отношения этих переменных.

Теорема 2. Однородное дифференциальное уравнение (2.13) при условии, что функция (u) непрерывна и (u) u в

интервале u (a,b) , имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах. При этом через каждую точку M 0 (x0 , y0 )

области плоскости, лежащей внутри вертикальных углов, ограниченных прямыми y ax и y bx и не содержащей

прямой x 0 , проходит единственная интегральная кривая.

Доказательство. Выполнив подстановку

относительно новой функции u(x) получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Действительно,

21

Обозначив интеграл в левой части последнего равенства через Ф(u) , где u xy , получим общий интеграл уравнения

(2.13) в виде:

На основе теоремы об уравнениях с разделяющимися переменными (теорема 1, п.2.1) можем утверждать, что если в

выражаемый в квадратурах, а через каждую точку (x0 , u0 ) указанной области проходит единственная интегральная

22

Разрешив частный интеграл относительно функции y(x) , получим частное решение

y bx , причем берутся те два угла, которые не содержат ось

Таким образом, получен общий интеграл рассматриваемого ОДУ. Для получения частного решения подставим в общий интеграл начальные данные y(0) 1.

(2.15), вытекающим из однородного уравнения (2.13), найдутся такие значения u , при которых уравнение (u) u имеет

23

эти функции являются решениями уравнения.

3.Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка

всимметрической форме имеет вид

24

где P(x, y) и Q(x, y) - однородные функции, одной и той же степени однородности:

однородности.

Симметрическая форма дифференциального уравнения имеет то преимущество перед уравнением вида (2.1), что в качестве искомой функции можно выбирать либо y(x) , либо

x( y) , в зависимости от удобства.

Однородное дифференциальное уравнение (2.18)-(2.19) сводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

Построим общий интеграл однородного уравнения, записанного в симметрической форме. Сделаем замену искомой функции y по формуле (2.21). Будем иметь

P(x,ux)dx Q(x,ux)(udx xdu) 0 .

Поскольку

то, подставляя y ux , имеем

25

Уравнение (2.23) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получаем:

Введя обозначение

Q(1,u)du

(u) P(1,u) uQ(1,u),

и заменяя u xy , получим общий интеграл уравнения (2.18) в

виде:

Подставляя эти значения в формулу (2.21) найдем, что

26

соответствующие интегральные кривые – полупрямые, примыкающие к началу координат. Эти решения могут входить в совокупность, определяемую общим интегралом уравнения, но могут быть и особыми решениями. Особыми решениями могут быть также полуоси оси OY : x 0 ( y 0) . Других

особых решений это уравнение иметь не может.

Пример. Найти решения дифференциального уравнения

Решение. Это уравнение является однородным, т.к. коэффициентами при dx и dy являются функции одной степени однородности:

4*. Рассмотрим геометрическое свойство интегральных кривых однородного уравнения.

Поле направлений, определяемое однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка, а следовательно, и интегральные кривые этого уравнения обладают одним интересным свойством. Запишем однородное уравнение в виде

27

существует при данном значении k . Поэтому все такие лучи являются изоклинами уравнения (2.13).

Выберем какую-нибудь интегральную кривую, не совпадающую с такими лучами. Если увеличить или уменьшить радиусы-векторы во всех точках интегральной кривой в одно и то же число раз, то получим кривую, у которой направление касательных во всех точках будет таким же, что и в соответствующих точках взятой первоначально интегральной кривой. Поэтому полученные таким образом линии будут также являться интегральными кривыми уравнения.

Указанное преобразование радиусов-векторов называется

преобразованием подобия с центром подобия в начале координат. Оно означает замену текущих координат (x, y)

линии текущими координатами (X ,Y ) новой линии по формулам

Таким образом, однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка обладает следующим свойством: всякая кривая,

полученная из интегральной кривой однородного уравнения преобразованием подобия с центром подобия в начале координат, тоже является интегральной кривой.

Верно и обратное утверждение: все интегральные кривые,

входящие в общий интеграл

y

x Ce x ,

и не являющиеся лучами, выходящими из начала координат, могут быть получены при помощи преобразования подобия

(2.29) из одной такой интегральной кривой.

28

Из приведенного свойства интегральных кривых однородного уравнения следует:

1) если интегральная кривая, отличная от луча,

интегральные кривые, заключенные между этими лучами, примыкают к точке (0,0) ;

2) если некоторая линия является интегральной кривой, то и симметричная относительно (0,0) линия является

интегральной кривой; 3) если одна из интегральных кривых замкнута, то и все

интегральные кривые замкнуты.

5. Рассмотрим физическую задачу, приводящую к однородному дифференциальному уравнению: найти форму зеркала, собирающего параллельные лучи в одну точку.

Выберем за ось OX прямую, параллельную лучам, за начало координат – точку пересечения всех лучей после отражения и проведем сечение поверхности зеркала плоскостью XOY . На этой плоскости будем искать кривую, обладающую указанным свойством (рис. 5).

Из геометрической оптики известно, что для идеальной зеркальной поверхности (что мы и предполагаем) углы падения

29