Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к математическим моделям специальных дисциплин. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

коэффициента

Cn

берется

по

возможным

целым

неотрицательным решениям уравнения k

m

n при заданном

индексе n .

В случае

произведения N

рядов

можно получить по

индукции выражение

N

a( j)

xk ( j)

xn

a(1)

... a(N )

,

(6.12)

k ( j)

k (1)

k (N )

j 1 k ( j) 0

n 0 k (1) ...

k (n) n

неотрицательным решениям уравнения k1

k2

...

kn n , а

радиус

сходимости

ряда

в

правой

части

равенства

R

min(R1R2 ,..., Rn ) .Сумма же ряда, равного произведению N

N

рядов, будет равна произведению сумм: A(x)

Aj (x).

j

1

2. Деление степенных рядов.

Если

Ra

0 , Rb

0 и

b0

0 , то при достаточно малых

значениях

x

справедливо следующее разложение в степенной

ряд частного:

a

a x ...

a

n

xn ...

... c xn

0

1

c

c x

...

,

b

b x ...

b xn ...

0

1

n

0

1

n

коэффициенты

cn которого можно найти

по рекуррентным

a xn

b xn

c xn .

n

n

n

n 0

n 0

n 0

a

n

xn

xn

c b ,

k

m

n 0

n 0

k m

n

a0

c0b0 ,

a1

c1b0

c0b1 ,

(6.13)

n

a2

c2b0

c1b1

c0b2 ,...,

an

cn

k bk ,... .

k

0

Из

формул

(6.13)

видно,

что

коэффициенты

cn (n

0,1,...)

последовательно

находятся

из цепочки

уравнений при условии

b0

0 .

степенных

рядов

можно

ввести

обратный

ряд для

ряда

A(x)

a

n

xn ,

a

0 . По определению, ряд

T (x)

t

n

xn

0

n

0

n 0

называется

обратным для

ряда

A(x) , если

T(x)A(x) 1.

Справедливо утверждение: если радиус сходимости ряда

A(x)

уравнения для

определения

коэффициентов tn ряда T (x) .

Выполняя умножение, имеем

1 T (x) A(x)

xn

tk am .

n 0

k m

n

Отсюда, используя формулы (7.13), получаем

1 t0 a0 ,

0

t1a0 t0 a1,

0

t2 a0

t1a1 t0 a2 ,...,

n

n,0

tn

k ak ,...,

(6.14)

k 0

где символ Кронекера

n,e

1 при n e ,

n,e

0 при

n e .

t

a 1,

t

a a 2

, t

2

a2a 3

a a 2

,... .

0

0

1

1

0

1

0

2

0

n

0

суммой степенного ряда в промежутке (

, )

B( y) b

b y ...

b yn ...

b yn .

(6.15)

0

1

n

n

n

0

A(0)

Справедливо утверждение: при условии

a0

,

сложная функция B(A(x)) в окрестности точки x

0 является

вместо y ряда

A(x) , возведения в соответствующие степени и

объединения затем подобных членов.

Используя частный случай формулы (6.12) при

a( j)

a

,

k

k

получим выражения для композиции рядов

B( y) и A(x)

B( A(x))

xm

b

a

...a

, (6.16)

n

k (1)

k (n)

m 0

n 0 k (1) ... k (n) m

(A(x))

(b

b a

b a2 ...

b an

...)

0

1

0

2

0

n 0

x(b a

2b a a

...

nb a an 1

...)

1 1

2 1

0

n 1

0

x2 (b a

b (a2

2a a )

...) ... .

1

2

2

1

2

0

Пусть необходимо найти

x

из уравнения y

A(x) , где

функция A(x) задана в виде степенного ряда

A(x)

a

n

xn ,

a 0 .

(6.17)

0

n 1

Обратную функцию для

функции y A(x)

обозначим

x B( y) . Поскольку функция

y

A(x) задана не в замкнутом

x

b yn .

(6.18)

n

n 1

Так мы приходим к задаче об обращении степенных

рядов.

Справедливо утверждение.

Пусть

A(x) степенной ряд,

такой, что A(0)

0 ,

a1

0 . B( y) -

ряд обратный ряду

A(x)

относительно композиции, т.е. степенной

ряд,

такой,

что

B( y)

0 и A(B( y))

y . Если радиус сходимости A(x) отличен

от нуля, то это же справедливо для ряда B( y) .

Получим

соотношение,

связывающие

искомые

коэффициенты bn

с заданными величинами an . Подставим x

из (6.18) в ряд (6.17) и воспользуемся (6.16). Получим

n

y

a xn

a

b

ym

a

ym

b

...b

.

n

n

m

n

k (1)

k(n)

n 1

n 1

m 1

n 1

m

n

k(1) ...

k(n)

m

Изменив порядок суммирования в двух первых суммах,

запишем окончательно

y

yn

n

a

b

...b

.

(6.19)

m

k (1)

k (m)

n 1

m 1

k (1) ... k (m)

n

Приравнивая в (6.19) коэффициенты при одинаковых

степенях

y в правой

и

левой

частях

равенства,

получим

a b

1,

a b

a b2

0,

(6.20)

1 1

1 2

2 1

a b

a

b b

a b3

0,

1 3

2

k

e

3 1

k

e

3

a b a

b b a

b b b

a b4

0,

1 4

2

k e

3

k e m

4 1

k

e

4

k

e m

4

…………………………………………………………………

a b

a

b b

a

b b b ...

a

(n

1)bn

2b

a bn

0 .

1 n

2

k e

3

k e m

n 1

1

2

n 1

k e

n

k e

m

n

Отсюда последовательно находятся коэффициенты bn :

b

a

1,

b

a

3a ,

b

a 4a

2a

5a2 ,... .

1

1

2

1

2

3

1

3

1

2

Пример. Зная разложение в ряд функции y

sin x , найти

разложение в ряд функции x

arcsin y .

Решение. Считаем известным разложение в степенной

ряд функции

x3

x5

1)n 1

x2n 1

y

sin x

x

...

(

... .

6

120

(2n

1)!

Ищем разложение обратной функции в виде

x

arcsin y

b y

b y3

b y5 ... .

1

3

5

Записанный ряд содержит только нечетные степени

y ,

т.к.

функция y

sin x

нечетная и

потому

обратная к

ней

функция также нечетная.

Из

формулы

(6.19)

имеем:

a b 1, b 1,

b

a 2a2

1

,

1 1

1

3

3

2

6

1

3

1

5

3

b5

b1 b3

b1

,... .

2

120

40

Получаем x

arcsin y

y

y3

3

y5

5

x7 ... .

6

40

12

6.6. Разложение функций в степенные ряды

Определение.

Говорят,

что

функция

f (x)

разлагается

в степенной

ряд

(6.4)

или

(6.5) на интервале

( R, R) R

0 , если на этом интервале данный степенной ряд

сходится и его сумма равна

f (x) , т.е.

f (x)

a (x

x

)k

при x

x

из ( R, R) .

(6.21)

k

0

0

k 0

ak

f k (x0 )

,

k 0,1,2,...,

(6.22)

k!

f ' (x )

f ''(x

)

(x x )2 ...

f (x) f (x )

0

(x x )

0

0

1!

0

2!

0

f (n) (x

)

(x x )n

...

0

... .

(6.23)

n!

0

В случае если

x0

0 , полученный ряд называется рядом

Маклорена

f (x)

f (0)

f

'(0)

x ...

f (n) (0)

x

n

... .

(6.24)

1!

n!

f (n) (x )

(x x )n

f (x) f (x )

f '(x )(x

x ) ...

0

R ,

0

0

0

n!

0

n

(x

x )n 1

f (n 1) (x

где

R

0

(x

x

)), 0

1,

n

(n

1)!

0

0

стремился к

нулю

при

n

для

всех

x

из интервала

сходимости.

На практике

при

решении

вопроса

о

возможности

и чтобы

существовала такая

постоянная M , что

f (n) (x)

M при n 0,1,2,... и всех x

из этого интервала, т.е.

1.

ex

xn

,

x

,

0 n!

n

(

1)n x2n 1

2.

sin x

,

x

,

n 0

(2n 1)!

(

1)n x2n

3.

cos x

,

x

,

n 0

(2n)!

(

1)n 1 xn

4.

ln(1

x)

,

1

x

1,

n

n 1

5.

(1

x)

1

(

1)...(

n

1)

x

n

,

1

x 1.

n

0

n!

1

1

x

x2n 1

6.

ln

,

1

x

1.

2

1

x

n

0 2n

1

( 1)n x

2n 1

7.

arctgx

,

1

x

1.

n 0

2n

1

Пример.

Разложить

в

ряд

по

степеням

n

функцию

y

sin2 x .

Решение. Продифференцировать функцию n 1 раз:

y

sin2 x, y

2sin x cos x

sin 2x,

y

2 cos 2x

2sin

2x

,

2

y

22 sin 2x

22 sin

2x

2

,

y(4)

23 cos 2x

2

= 23 sin

2x

3

,

2

y(n) 2n 1 sin 2x

(n 1) , y(n 1)

2n sin 2x

n . .

2

2

Найдем

значение

функции

и производных до n го

порядка в точке

x

0 ,

а значение

y(n 1)

в промежуточной

точке для определения остатка Rn . Получаем:

y(0) 0,

y (0)

0,

y (0)

2,

y

(0)

0,

y(4) (0)

23 ,...,

y(n) (0)

2n 1 sin

(n

1)

0

при

n

2k 1,

2

y(n) (0)

( 1)k 22k

1

при

n

2k 2.

Найдем остаточный член

R

2n sin(2t

n / 2)

x

n 1

1 (2x)n 1

sin(2t

n / 2),

n

(n

1)!

2 (2n

1)!

где

t

x ,

0

1.

Поскольку

sin

2t

n

-

величина

2

ограниченная и при любом x

имеет место равенство

lim

(2x)n 1

0,

(2n

1)!

n

то

lim R

0 .

Следовательно,

функцию

y sin2 x

можно

n

n

записать как сумму ряда Маклорена

sin2 x

2

x2

23

x4

25

x6 ... .

2!

4!

6!

непрерывная

по

совокупности аргументов

при t, t1,..., tn

из

[a,b] ,

0 ,

1,...,

n

- неотрицательные

целые

числа

и

0

1

...

n

m . Выражения

b

b

u

(0) (t) ... K

n

(t, t ,..., t

n

)u (1)

(t )...u (n) (t

n

)dt ...dt

n

(6.25)

1

1

1

a

a

решению

уравнения в целых неотрицательных числах

0 1

...

n

m

w (t,u)

W (t,u[ ])

m

m

(0) ...

(n) m

Wm (t, u)

(6.26)

...

n

w0

w1

u

wn

u