Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к математическим моделям специальных дисциплин. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

нормальному виду введем функции u x ,

проекции скорости

на координатные

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

5.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

где

радиус - вектор точки, t - время,

x(t)i y(t) j z(t)k

d 2

- скорость точки,

- ускорение. Записанное

dt 2

уравнение выражает второй закон Ньютона. Спроектируем действующую на точку силу на оси декартовой системы координат:

F t,

f t,

i f

k .

Подставив разложения

и F в

уравнение

(5.2),

приравняя

проекции на координатные оси. Получим систему

трех уравнений:

d 2 x

f1(t, x, y, z, x, y, z),

dt 2

d 2 y

f 2 (t, x, y, z, x, y, z),

(5.3)

dt 2

d 2 z

f3 (t, x, y, z, x, y, z),

dt 2

где точка

над буквой обозначает производную по t . Каждое

из уравнений системы (5.3) является дифференциальным уравнением второго порядка. Для приведения системы к

систему уравнений вида

x mu mv mw

u, y v, z w,

f1 (t, x, y, z, u, v, w),

f 2 (t, x, y, z, u, v, w), f3 (t, x, y, z, u, v, w).

150

При этом обычно задаются начальное положение точки

(t0 )

x0 , y0 , z0

начальная

скорость

(t0 )

, v

, w .

Подобным образом и одному дифференциальному уравнению высшего порядка можно сопоставить систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Система уравнений (5.1) называется линейной системой дифференциальных уравнений, если правые части зависят линейно от некоторых функций y1, y2 , , yn :

dy1

a11

(x) y1

a12 (x) y2

a1n (x) yn

f1(x),

dy2

a21(x) y1

a22 (x) y2

a2n (x) yn

f 2 (x),

(5.4)

dyn

an1(x) y1

an2 (x) y2

ann (x) yn

f n (x),

где aij (x) и

fi (x)

(i, j 1,2, , n) - заданные функции от x .

Если правые части системы (5.1) не зависят явно от

независимой переменной x , т.е. если система имеет вид

dy1

f1( y1, y2 , , yn ),

dy2

f 2 ( y1, y2

, , yn ),

(5.5)

dyn

f n ( y1, y2

, , yn ),

то она называется автономной или стационарной системой.

Если в линейной системе (5.4) f1(x) f 2 (x) f n (x) 0 ,

то имеем линейную автономную систему.

151

2. Решение системы. Геометрическое и механическое

истолкования нормальной системы.
Совокупность	n функций y 1(x), , y	n (x),

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a,b) , называется решением системы (5.1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы в тождества:

	1(x)	f1(x,			1(x),		2 (x), , n (x)),
	2 (x)	f 2 (x,			1(x),		2 (x), , n (x)),

	n (x)	f n (x,				1(x),	2 (x), , n (x)),
справедливые при всех значениях x								из интервала (a,b) .
Пример.	Система уравнений
				dy		7 y	6z,

				dx
				dx
				dz		6 y	7z,

				dx
				dx
имеет решение	y	e x ,		z		ex .		В этом можно убедиться,
	1		1
подставив эти функции в уравнения системы:
ex 7ex			6ex ,				e x	6e x 7e x .

Мы получили тождества, справедливые при x ( ; ) . Эта же система имеет и другие решения. Например, решением,

является другая совокупность функций: y2						e13x , z2		e13x
при	x (	; ) .	Решением этой системы будет являться и
двухпараметрическое				семейство	функций:	y	Ae x	Be13x ,
z	Ae x	Be13x ,	A	и B –	произвольные		постоянные.

Действительно, подставив эти функции в уравнения системы, получим:

Ae x	13Be13x	7(Ae x	Be13x )	6(	Ae x	Be13x ) ,
Ae x	13Be13x	6(Ae x	Be13x )	7(	Ae x	Be13x ).

152

Эти уравнения удовлетворяются тождественно относительно x при любых числовых значениях параметров A и B.

Рассмотренный пример системы двух уравнений наводит на мысль, что всякая система двух уравнений имеет решение,

содержащее два произвольных параметра.
		Перейдем к геометрическому истолкованию нормальной
системы.
		Изучая	дифференциальные	уравнения	1-го порядка
	dy	f (x, y)	и рассматривая	x, y как	прямоугольные

	dx
	dx

координаты, мы установили, что такие уравнения задают на плоскости XOY некоторое поле направлений и что направление касательной в каждой точке интегральной кривой y (x) совпадает с направлением поля в этой точке. Аналогичную геометрическую интерпретацию можно дать и нормальной системе n дифференциальных уравнений (5.1).


Будем	рассматривать			(x, y1, , yn )		как координаты
точки в (n	1) -	мерном		пространстве		x, y1, , yn . Тогда
решению	y	1(x), y		2 (x), , y	n (x) соответствует
кривая в введенном (n			1) - мерном пространстве. Эта кривая
называется интегральной кривой системы (5.1).
Пусть	функции		f1(x, y1, y2 , , yn ) ,			f 2 (x, y1, y2 , , yn ) ,
, f n (x, y1,	y2 , , yn )		в системе (5.1) определены и конечны

в некоторой области D изменения переменных x, y1, , yn . В


каждой точке M (x, y1, , yn )		D проведем	отрезок		прямой
с	направляющим			вектором
s	1, f1(x, y1, y2 , , yn ), , f n (x, y1, y2 , , yn ) .				Тогда
получим поле направлений		в области D	(n	1) -	мерного

пространства. Интегральная кривая в каждой своей точке касается вектора поля

(dx : dy1 : dy2 : : dyn 1 : f1 : f2 : fn ).

153

Если в точке M 0 (x0 , y1(x0 ), , yn (x0 ))				все правые части
системы (5.1) или некоторые	из		них	обращаются	в
неопределенные выражения вида		0	, то в этой точке поле
неопределенные выражения вида	0		, то в этой точке поле
	0

направлений не определено и через такую точку не проходит ни одна интегральная кривая.

Рассмотрим механическое истолкование нормальной системы.

Если дифференциальные уравнения описывают движение механической системы, то независимую переменную обозначают t , искомые функции через x1, , xn ,

а производные этих функций по времени t обозначают xk

(k 1,2, , n) . В	этих обозначениях нормальная система
уравнений (5.1) записывается так:
x1	X1(t, x1, x2 , , xn ),
x2	X 2 (t, x1, x2 , , xn ),	(5.6)
		(5.6)

xn	X n (t, x1, x2 , , xn ).

Вевклидовом пространстве с прямоугольными

координатами		x1, x2 , , xn	решение	системы
x1	1(t), , xn	n (t) определяет	закон движения или

движение по некоторой траектории с течением времени

t .

Если ввести n - мерный вектор

x1(t), x2 (t), , xn (t)

то

его производная по

времени

r (t)

(t), , x

(t)

интерпретируется как скорость движения точки в

n - мерном

пространстве, xk (t) (k

1,2, , n) - проекции вектора скорости

на координатные оси.

При такой интерпретации, естественной

в физических и

механических задачах, система (5.6) или в векторной форме

) ,

(5.7)

F (t,

154

где F (t, rn ) X1(t, x1,..., xn ), , X n (t, x1,..., xn ) , обычно называется динамической системой, пространство с

координатами	x1, x2 ,..., xn							называется	фазовым
пространством,	кривая						(t)	называется	фазовой
				r		r
траекторией.	В	случае			n 2			фазовое пространство
называется фазовой плоскостью.
Если функции		X k	(k		1,2,..., n) в системе				(5.6) или

вектор-функция F в векторном уравнении (5.7) не зависят от времени t , то система (5.6), или (5.7), называется автономной

динамической системой.
	Взаимосвязь между траекторией и движением состоит в
том,	что	траектория	есть	проекция	движения
(расположенного в пространстве				t, x1, x2 ,..., xn )		в
пространство x1, x2 ,..., xn .
	Таким	образом,	решение	системы	(5.6)	-
x1	1(t), x2	2 (t), , xn	n (t) ,	понимается		как

параметрические уравнения траектории движения (в

пространстве x1, x2 ,..., xn ). Эти уравнению определяют

траекторию как однопараметрическое геометрическое место точек; они показывают, как происходит движение точки по траектории с течением времени. В соответствии с этим

решение системы x1	1(t), x2	2 (t), , xn	n (t) обычно в
механике называют движением.
Основной задачей	интегрирования системы (5.6) или

(5.7) является нахождение всех движений, определяемых этой системой и изучение свойств движений.

Пример. Пусть задана система уравнений x y, y x . Можно убедиться непосредственной подстановкой в

уравнения,		что	семейство	функций	x	C1 cos(t		C2 ) ,
y	C1 sin(t	C2 )	является	решением	заданной		системы
уравнений. На фазовой плоскости					XOY		фазовыми
траекториями является семейство окружностей						x2	y2	C 2
								1
				155

с центром в начале координат. Придавая параметру t числовые значения 0 t 2 , будем иметь перемещение точки по определенной траектории в направлении, показанном на рис. 10.

Рис. 10 Фазовые траектории системы

Отметим, что уравнение траектории на фазовой плоскости не зависит от C2 . Поэтому все движения при фиксированном C1 происходят по одной и той же траектории.

При C1 0 ( x2 y2 0 ) фазовая траектория состоит из

одной точки (точки О), называемой в этом случае точкой покоя системы.

5.2. Задача Коши. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши. Общее, частное

иособое решения

1.Задача Коши для системы вида (5.1) ставится так:


среди всех		решений		системы найти			такое	решение
y1	1(x), , yn		n (x) ,		в котором	функции		k (x)
(k	1,2, , n)	принимают			заданные	числовые		значения
y1(0) , y2(0) , , yn(0)			при	заданном числовом			значении x x0
независимой переменной:

156


	1(x0 )	y1(0) , ,	n (x0 )		yn(0) .
Совокупность		чисел	x0 , y1(0) , , yn(0)			называется
начальными	данными решения			y1	1(x), , yn		n (x) ;
число x0	называют	начальным		значением		независимой

переменной; числа y1(0) , , yn(0) называются начальными

значениями искомых функций (начальные значения решения). Геометрический смысл задачи Коши заключается в том,

что среди всех интегральных кривых системы разыскивается та, которая проходит через заданную точку (x0 , y1(0) , , yn(0) ) .

Остановимся	на механическом	истолковании задачи
Коши для нормальной системы (5.6):
xk	X k (t, x1, , xn ) (k	1,2, , n) .

Задача Коши состоит в том, чтобы из всех движений, определяемых этой динамической системой, найти такое движение x1 1(t), x2 2 (t), , xn n (t) , в котором

при t t0 x1 x1(0) , x2 x2(0) , , xn xn(0) ,

т.е. движущаяся				точка		в заданный		момент	времени t t0
находится		в		заданной			точке	фазового	пространства
M 0 (x1(0) , x2(0) , , xn(0) ) .
	Совокупность				чисел		t0 , x1(0) , , xn(0)		называется
начальными				данными			движения;		условия
x	x(0) , , x		n	x(0)		называются		начальными условиями
1	1			n

этого движения; t0 - начальным моментом времени; точка M 0 (x1(0) , , xn(0) ) - называется начальной точкой.

Пример. Найти решение автономной динамической системы

157

x y, y x,

удовлетворяющее начальным условиям: t0 0, x0 2, y0 1.

Решение. До сих пор мы не излагали систематические методы получения решений систем дифференциальных уравнений. Представленная в примере система обладает особенностью, позволяющей найти ее решение без привлечения специальных методов. Сложив уравнения системы, а затем, вычитая из 1-го уравнения второе, получим следующую систему уравнений:

	d (x	y)	(x y),

	dt
	dt
	d (x	y)	(x y).

	dt
	dt
Видим, что новая система представляет собой систему
независимых уравнений		относительно функций (x y) и

(x y) . Интегрируя уравнения, получим:

d (x

C ,

ln(x

C et ,

C ,

d (x

t .

ln(x

Из начальных условий, полагая t

x(0)

2 ,

y(0)

получим C1 3,

Подставив найденные постоянные в

выражения для

y) ,

сложив,

а затем вычтя их

друг из друга, получим

(3et

t ),

(3et

e t ) .

Уравнение фазовой траектории имеет вид: x2 y2 3 .

Это гипербола на плоскости XOY .

2*. Достаточные условия существования и единствен-

ности решения задачи Коши. В этом разделе мы приведем без доказательства и в упрощенной формулировке основную

158

теорему существования и единственности решений для системы (5.1).

Теорема (Пикара Э., 1856-1941, французский математик, почетный член АН СССР, 1924).

Пусть дана система уравнений (5.1)

dyk	fk (x, y1	, , yn ) (k	1,2, , n)
dx

и поставлены начальные условия

y(0)

, y

y(0)

, , y

y(0)

при

x0 .

Пусть

функции

f k (x, y1, , yn )

(k 1,2, , n)

определены в замкнутой ограниченной области

1) -

мерного пространства:

y (0)

a ,

b, ,

b ,

a и

заданные

положительные

числа

точкой

M 0 (x0 , y1(0) , , yn(0) )

внутри

удовлетворяют

условиям:

функции f k (x, y1, , yn ) (k 1,2, , n) непрерывны по всем аргументам и потому ограничены

fk (x, y1, , yn )

1,2, , n),

где

M - положительное число,

M (x, y1, , yn )

D ;

функции

f k (x, y1, , yn )

1,2, , n)

имеют

ограниченные частные производные

fk (x, y1, , yn )

(k,l

1,2, , n),

где

K - положительное число,

M (x, y1, , yn )

D .

Тогда система имеет единственное решение

1(x), , yn

n (x) ,

удовлетворяющее начальным условиям

y (0)

, , y

y (0)

при

x x0 .

Это

решение

определено

непрерывно

159

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]