Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к математическим моделям специальных дисциплин. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

А.П. Бырдин А.А. Сидоренко Л.П. Цуканова

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СПРИЛОЖЕНИЯМИ

КМАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ СПЕЦИАЛЬНЫХ ДИСЦИПЛИН

Учебное пособие

Воронеж 2012

0

ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”

А.П. Бырдин А.А. Сидоренко Л.П. Цуканова

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СПРИЛОЖЕНИЯМИ

КМАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ СПЕЦИАЛЬНЫХ ДИСЦИПЛИН

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2012

1

УДК 517.2

Бырдин А.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к математическим моделям

дифференциальных уравнений с приложениями к задачам физики, термодинамики, гидродинамики и экологии. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Имеются задачи для самостоятельного

государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки бакалавров 140100 «Теплоэнергетика и теплотехника», профиль «Промышленная теплоэнергетика», дисциплине ”Математика”.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в

В.Д. Репников

Рецензенты: кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин); канд. физ.-мат. наук, доц. В.Н. Потапов

Бырдин А.П, Сидоренко А.А., Цуканова Л.П., 2012

Оформление. ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2012

2

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения, общего и частного решений. Геометрический смысл решения

Многочисленные вопросы науки и техники требуют не только отыскания скорости изменения величин по заданной физической или технической характеристике процесса (т.е. отыскания производных), но и решения обратной задачи – восстановление функции по ее заданной производной. Если

из которого определяется скорость движения с точностью до постоянной

v(t) a(t)dt C, (1.2)

C - произвольная константа. Неопределенный интеграл в решении (1.2) можно заменить определенным интегралом с переменным верхним пределом.

t

v(t) a(t)dt C,

t0

где t0 и t - принадлежат области, в которой задана функция a(t) .

Таким образом, задача отыскания первообразной для функции f (x) , заданной в интервале x (a,b) , приводит к простейшему дифференциальному уравнению

4

решение уравнения, как известно из курса математического анализа, дается формулой

приложений в естественно - научных и технических дисциплинах, приходится определять функцию y y(x) из более сложных соотношений, связывающих значения

где F (x, y, y ,..., y (n) ) - заданная функция (n 1) - переменных.

Такого рода соотношения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Термин “обыкновенное” означает, что входящая в уравнение неизвестная функция за висит только от одного независимого переменного x .

Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется соотношение, связывающее независимое переменное x , неизвестную функцию этого переменного y(x)

и ее производную 1-го порядка y (x) .

Общий вид уравнения таков:

где F(x, y, y ) - заданная функция.

Решением дифференциального уравнения (1.5) назовем всякую дифференцируемую функцию y (x) удовлетворяющую этому уравнению, т.е. обращающую его в тождество по крайне мере в некотором промежутке изменения x :

F(x, (x), (x)) 0.

5

постоянной”), если она является решением дифференциального уравнения при любых допустимых значениях этого параметра.

Решение, полученное из общего решения (1.8) при конкретном значении параметра C , называется частным

6

дифференциального уравнения (1.7) или (1.5). Придавая произвольной постоянной C разрешенные значения, получим семейство (бесконечное множество) интегральных кривых, каждой из которых соответствует определенное значение

Интегральными кривыми этого уравнения являются прямые, проходящие через начало координат. Точка (0,0) является особой точкой дифференциального уравнения. В этой точке уравнение не устанавливает никакого соотношения между x, y

проходит интегральная кривая, и угловым коэффициентом

касательной dy к графику этой кривой в той же точке. Зная x dx

и y можно вычислить f (x, y) . Следовательно, можно вычислить dydx . Сопоставляя каждой точке области, в которой

определено дифференциальное уравнение, вектор, направленный по касательной к графику решения, мы тем самым определяем поле направлений. Интегральные кривые – это линии, имеющие в каждой своей точке направление, определяемое дифференциальным уравнением (направление поля). Схематически поле направлений, задаваемое некоторым уравнением, показано на рис. 1. С этой точки зрения решение дифференциального уравнения состоит в нахождении кривой на заданному в каждой точке направлению. Как видим из формулы (1.8), таких кривых на плоскости – семейство, получаемое при изменении параметра C .

7

Чтобы выделить определенную кривую из этого семейства, необходимо потребовать, чтобы линия проходила через некоторую заданную точку (x0 , y0 ).

y

Построим поле направлений, определяемое этим уравнением. В каждой точке, отличной от точки (0,0) , угловой коэффициент касательной к некоторой интегральной кривой равен

отношению xy . То есть угловой коэффициент касательной

совпадает с угловым коэффициентом прямой, направленной из начала координат в ту же точку (x, y) . На рис. 2 показано поле направлений, задаваемое этим дифференциальным уравнением.

1.2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши

1. Одной из важнейших задач в теории дифференциальных уравнений и в практических приложениях теории, является так называемая задача Коши. Для уравнения

(1.7)

8

dy f (x, y) dx

задача Коши ставится следующим образом.

y

x

Рис. 2. Поле направлений, определяемое уравнением y y x .

Задачей Коши (или начальной задачей) для дифференциального уравнения 1–го порядка называется задача нахождения решения y (x) этого уравнения, удовлетворяющего начальному условию

yf (x, y) ,

где x0 и y0 - заданные числа.

Геометрический смысл задачи Коши заключается в том, что ищется интегральная кривая дифференциального уравнения, проходящая через заданную точку плоскости

M 0 (x0 , y0 ) .

Например, функция y 2e x является частным решением

9