Вычислительная математика. учебное пособие. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

ошибок вычислений на каждом из отрезков xi 1, xi

. Поэтому

(b a)h2

.

(6.14)

R(h)

max

f (x)

12

x a,b

Ошибку по формуле (6.14) не всегда можно оценить,

например, когда функция

f (x) задана в виде таблицы и ее

производная

f

(x)

оценивается

с

помощью

табличных

разностей

f

(x)

2 y

.

Поэтому вместо формулы

(6.14)

h2

используется формула

R(h)

(b

a)

max

2 yi

.

(6.15)

12

i

2

Пример.

Вычислить

по

формуле трапеций

xdx ,

1

разбив интервал

интегрирования

на 10

частей.

Оценить

погрешность.

Решение. При тех же обозначениях, что и

для метода

прямоугольников, используя формулу трапеций, получим:

I 0.1 (

1

1.414

1.049

1.095 1.140

1.183

1.225

1.265

2

1.304

1.342

1.378)

1.218.

Далее,

f

(x)

1

;

f

(x)

1

на отрезке 1;2 .

4

4

x

3

Таким образом,

по формуле (6.14) находим

R(h)

0.1

1

1

0.002.

12

4

6.4.

Параболическая интерполяция. Формула Симпсона

Для

получения

еще

одной

квадратурной

формулы

численного интегрирования

положим

в (6.10)

n

2 ,

т.е.

отбросим все разности выше второй.

Тогда

x0 2h

8

1

ydx

h 2 y0

2

y0

2

2

y0

3

2

(6.16)

x0

h 2 y

2 y

2 y

1

( y

2 y

y

)

h

( y

4 y

y

).

0

0

2

0

0

2

1

3

1

3

1

Геометрический

смысл

полученной

формулы

заключается

в том,

что

в

интервале

интегрирования

x0 , x0

2h

функция

y

f (x)

заменяется

обычной

параболой

второй

степени

y

Ax2

Bx

C ,

проходящей

через

три

точки

кривой

с

абсциссами

x0 , x0

h, x0

2h

n 2m

равных

отрезков

и

для

каждого из

отрезков

x0 , x2 , x2 , x4

,....,

x2n , x2n

2

применим формулу

(6.16)

x2

h

ydx

( y

4 y

y

)

0

2

3

1

x0

x4

h

ydx

( y2

4 y3

y4 )

(6.17)

3

x2

.......... .......... .......... .......... .......

x2n

h

ydx

( y2n

2

4 y2n

1

y2n ).

x2n

3

2

Просуммировав все формулы (6.17), получим

b

h

f (x)dx

y

y

4( y

y

... y

)

2( y

y

y

) .

0

2n

3

n 1

2

4

2n 2

3

1

a

(6.18)

Формула (6.18) называется формулой Симпсона или

формулой парабол.

Если

подынтегральная

функция

f (x)

имеет

непрерывную производную четвертого порядка на

a,b ,

то

справедлива такая оценка погрешности формулы Симпсона

R(h)

(b a)h4

max

f

(4) (x)

(b a)5

max

f (4) (x)

(6.19)

180

180

x

a,b

x

a,b

или, пользуясь формулой

f (4) ( x)

4 y

,

h4

(b a)

.

(6.20)

R(h)

max

4 yi

180

i

1

dx

Пример. Вычислим

способом

трапеций и

0

1

x 2

парабол,

разбив участок 0

x

1 на 10

частей.

Решение.

По формуле

h

(b

a)

определим

n

h

(1

0)

0.1

. Найденные

значения

подынтегральной

10

функции f (x)

1

поместим в таблицу 20.

x2

1

Таблица 20

x

2

2

f (x)

1

x

1

x

x 2

1

0.0

0.00

1.00

1.0000000

0.1

0.01

1.01

0.9900990

0.2

0.04

1.04

0.9615385

0.3

0.09

1.09

0.9174312

0.4

0.16

1.16

0.8620690

0.5

0.25

1.25

0.8000000

0.6

0.36

1.36

0.7352941

0.7

0.49

1.49

0.6711409

0.8

0.64

1.64

0.6097561

0.9

0.81

0.81

0.5524862

1.0

1.00

1.00

0.5000000

1

dx

1.0

0.5

0.1

0.9900990 ...

0.5524862

0.7849815.

0 1

x

2

2

По формуле Симпсона -

1

dx

0.11.0

0.5 4(0.9900990

0.9174312 ...

0.5524862)

0

1

x2

2(0.9615385 ...

0.6097561)]

0.785398.

Так

как

1

dx

,

то можно считать,

что

arctg

1

01 x2

0

4

вычисляя

этот интеграл,

находим

приближенное значение

числа

.

4

Так

как

истинное

значение

=0.78539816,

то

4

трапеций не превосходит

0.06% , а при пользовании методом

парабол -

практически отсутствует.

Пример. Вычислить приближенно по формуле Симпсона

1

I

1

x 2 dx с точностью до 0.001.

0

Решение. Прежде всего воспользуемся формулой (6.19),

определим, какой шаг

h нужно взять для достижения

x

1

f (x)

1 x2 ;

f (x)

;

f (x)

;

1

x 2

(1 x2 )3

f (x)

3x

;

f IV (x)

12x2

3

.

(1

x 2 )5

(1 x2 )7

Наибольшее значение

f IV (x)

на отрезке

0;1

достигается в точке

x

0 :

f IV (0) 3

.

Значит,

h4

f IV (x)

h4

Rn

(b a)

1 3 .

180

180

Так как эта погрешность должна быть меньше

0.001,

то

h4

0.001,

т.е.

h 4

0.06 . Можно принять h

0.5 (если

60

h

0.5 ,

то

h4 0.0625), т.е. несколько большей величины, но

это

не

отразится

на

точности вычислений, поскольку

при

Вычислим

значения

функции

f (x)

1

x2 при

x

0;

0.5

и

1:

f (0)

1.0000;

f (0.5)

1.1180;

f (1)

1.4142. Поэтому

I

0.5

(1.0000

4 1.1180

1.4142)

1.1477.

3

Таким

образом,

округляя

последний

знак,

находим

I

1.148.

Вычислим для сравнения точное значение этого

интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

1

x

1

1

1

2 dx

1 x2 )