Учебное пособие 1758
.pdf
|
|
|
|
f (x) |
|
f ( |
|
1 |
) |
|
f1(t) |
|
|
|||
|
|
|
|
t |
|
(8.2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
g(x) g( |
1 |
) |
|
g1(t) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
где t |
1 |
. При |
x t 0,причём t |
0 |
для x [c ; ). По |
|||||||||||
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
теореме о пределе сложной функции получаем, что
lim |
f1 |
(t) |
lim |
f1 |
(t) |
K. |
|
g1 |
(t) |
g1 |
(t) |
||||
x |
t 0 |
|
Из соотношения (8.2) теперь следует, что
Теорема доказана.
lim f (x) K.
x g(x)
Приведём пример применения теоремы 8.1.
Пример 8.1. Вычислим предел lim |
tgx x |
. Имеем |
|
||
x 0 |
x sinx |
|
lim |
tgx x |
lim |
cos 2 x 1 |
lim |
1 cos2 x |
lim |
1 cosx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
x sinx |
1 cosx |
cos2 x(1 cosx) |
cos2 |
|
||||||
x 0 |
x 0 |
x 0 |
x 0 |
x |
||||||
|
lim (1 cosx) |
|
2 |
|
|
|
x 0 |
|
2. |
||
lim cos2 x |
1 |
||||
|
|
|
x 0
Раскрытие неопределённости вида
51
Будем говорить, что частное двух функций f (x) , определённое
g(x)
0
в некоторой проколотой окрестности U(a) точки a, представляет
собой неопределённость вида , если
lim f (x) , lim g(x) .
x a x a
Аналогично вводится понятие неопределённости вида при
x a 0 (x a 0),при x (x ), а также при x .
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 8.3. Пусть
1) функции f (x) и g(x) определены в промежутке
(a ; b], a R, b R;
2) выполняются условия lim f (x) , lim g(x) ;
x a x a
3)в промежутке (a ; b] существуют конечные производные f (x)
иg (x), причём g (x) 0 для любого x (a ; b];
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) существует (конечный или нет) предел lim |
f (x) |
|
K. |
|||
|
g (x) |
||||||
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда в точке a существует предел и у частного |
|
f (x) |
, причём |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
lim |
|
f (x) |
K. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x a |
|
g(x) |
|
|
|
|
|
Данное утверждение примем без доказательства. Заметим лишь, что аналогичная теорема справедлива и в том случае, когда частное
52
функций f (x)/g(x) рассматривается на промежутке вида
0
[ ; a), , a R, или в проколотой окрестности U(a
рема распространяется и на тот случай, когда a
) точки a. Тео-
, или a .
Замечание. Можно показать, что в теоремах 1 – 3 из условий 1,2,3 следует, что если K бесконечность, то K , т.е. эта бес-
конечность знакоопределённая.
Приведём пример раскрытия неопределённости вида .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8.2. Вычислить предел lim |
|
lnx |
, где 0. Имеем |
|||||||||
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
lnx |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||
lim |
|
lim |
|
x |
|
|
lim |
0. |
||||
x |
x 1 |
|
x |
|||||||||
x |
|
x |
|
x |
|
|
||||||
Кроме рассмотренных неопределённостей 0 и часто встре-
0
чаются неопределённости видов 0 , ,1 , 00 , 0 . Неопреде-
лённости 0 и всегда сводятся к уже изученным с помощью алгебраических преобразований. Рассмотрим, например, неопреде-
лённость вида 0 . Пусть при |
x a |
f (x) 0, g(x) .Запишем |
произведение функций f (x)g(x) |
в виде |
|
f (x)g(x) |
f (x) |
. |
(8.3) |
|
1 |
||||
|
|
|
g(x)
Правая часть равенства (8.3) представляет собой уже неопределён-
ность вида 0.
0
53
При рассмотрении неопределённых выражений видов
1 , 00 , 0 рекомендуется их предварительно прологарифмиро-
вать.
§ 9. Многочлен Тейлора функции одной переменной
и его применение
Проблема вычисления значений функции является одной из самых важных и трудных. Дело в том, что с помощью простейших арифметических действий – сложения, вычитания и умножения можно находить значения только функций вида
y a a (x x |
) a |
(x x )2 ... a |
n |
(x x )n |
P (x), |
(9.1) |
||
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
0 |
n |
|
|
которые называются |
многочленами |
|
степени |
n. |
Здесь |
|||
x0, a0, a1,..., an |
– константы (коэффициенты при степенях x x0 ), x |
|||||||
– аргумент, а целое n 0 – степень или порядок многочлена.
Легко убедиться с помощью правил дифференцирования и формулы 1 таблицы производных, что
y' P'n (x) a1 2a2(x x0)1 ... nan (x x0)n 1, y'' P''n(x) 2a2 ... n(n 1)an (x x0)n 2 ,
…
y(n) Pn(n) (x) n(n 1)(n 2)...2 1 an const,
y(n 1) Pn(n 1) (x) 0
В § 4, посвященном дифференциалу и его применениям, была получена формула (4.7)
f (x) f (x0) df (x0) f (x0) f '(x0) x f (x0) f '(x0)(x x0)
для приближенного вычисления значений произвольной дифференцируемой функции f (x) с помощью многочлена первой степе-
ни f (x0) f '(x0)(x x0) (линейной функции). При этом формула
54
может обеспечить неплохую точность только тогда, когда x близко к x0 и существует производная f '(x0).
Пусть теперь у функции в точке x0 существуют и известны произ-
водные f '(x0), f ''(x0),..., f (n) (x0) до n-го порядка включительно.
Спрашивается, можно ли в этом случае предложить формулу вы-
числения значений |
f (x) также с помощью некоторого многочлена |
|||||||||||
вида (9.1), но дающую более высокую точность? |
|
|||||||||||
|
Ответ положительный. Причем в качестве такого многочлена |
|||||||||||
выступает |
так |
называемый |
многочлен |
Тейлора Tn (x) |
функции |
|||||||
y f (x) в точке x0 , имеющий вид: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
f '(x ) |
|
f ''(x ) |
|
|
|
f (n)(x ) |
|
||
T (x) f (x ) |
|
0 |
(x x ) |
0 |
(x x |
)2 ... |
|
0 |
(x x )n,(9.2) |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
n |
0 |
|
|
1! |
0 |
2! |
0 |
|
|
n! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
0! 1,1! 1, m! 1 2 3...(m 1) m. То есть |
m! (читается m- |
||||||||||
факториал) |
есть |
произведение |
всех |
целых |
чисел |
от 1 до |
||||||
m, |
m 1, 2, .... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Заметим, что в случае, |
если x0 0, то соответствующий мно- |
||||||||||
гочлен имеет более простой вид |
и называется многочленом Мак- |
|||||||||||
лорена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нам понадобится следующая |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Лемма 9.1. Пусть функция g(t) имеет n 1 производную в |
|||||||||||
окрестности |
(a,b) точки x0 , обращается в нуль вместе со всеми |
|||||||||||
своими производными до порядка n в точке t x0 , и пусть допол-
нительно обращается в нуль в точке x (a,b), x x0. Тогда между x0 и x найдется точка c c(x), зависящая от x, и такая, что
g(n 1) (c) 0.
Доказательство. По теореме Ролля между x0 и x найдется точка c1, в которой g'(c1) 0. Так как g'(x0) 0 по условию, то опять применяя теорему Ролля, но теперь уже к функции g'(t), мы за-
55
ключаем, что между c1 и x0 найдется точка c2, в которой g''(c2) 0. Повторяя эти рассуждения и дальше, мы придем к су-
ществованию между x и x0 такой точки c cn 1, в которой
g(n 1)(c) 0.
Лемма доказана
Теорема 9.1. 1) Функция f (x) и ее многочлен Тейлора Tn (x) имеют в точке x0 одинаковые производные до n-го порядка включитель-
но.
2) Функция
|
rn(x) f (x) Tn (x) |
(9.3) |
|||
есть величина более высокого порядка малости при |
x x0 , чем |
||||
бесконечно малая (x x )n . |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
3) Если дополнительно предположить, что у функции f (x) |
|||||
существует n 1-я |
производная f (n 1) (x) при x из |
некоторой |
|||
окрестности (a,b) |
точки x0 , то при x из той же окрестности |
||||
справедлива формула |
|
|
|
||
r (x) |
f (n 1) |
(c) |
(x x )n 1, |
(9.4) |
|
|
|
||||
n |
|
(n 1)! |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
где c c(x) – некоторая точка, расположенная между x и x0 , и
зависящая от x.
Таким образом, в условиях утверждений 2), 3) справедлива формула (формула Тейлора)
f (x) Tn (x) rn(x), |
(9.5) |
причем ее погрешность rn(x) f (x) Tn (x) |
задается с помощью |
формулы (9.4). Это так называемый остаточный член формулы Тейлора (9.5), записанный в форме Лагранжа.
56
|
|
|
Доказательство. 1) Легко проверить, что при m k m-я про- |
|||||||||||||||
изводная |
от a |
k |
(x x )k |
равна k(k 1)...(k m 1)a (x x )k m |
и об- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
k |
0 |
|
|
|
|
|
|
ращается |
в нуль при |
x x0. При m k m-я |
производная от |
|||||||||||||||
a |
k |
(x x )k |
|
равна k!a . |
При m k |
m-я производная |
от a |
k |
(x x )k |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
тождественно равна 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Поэтому m-я |
производная |
от Tn (x) |
в |
точке |
x0 |
равна |
|||||||||
|
m! f (m)(x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
f (m)(x ), m 0,1,2,...,n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
m! |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Что и требовалось. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2) |
Составим |
|
отношение |
двух |
бесконечно |
|
|
|
малых |
||||||
r (x) f (x) T (x) и |
(x x )n и рассмотрим предел |
lim |
|
|
rn(x) |
. |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
0 |
|
|
|
x x0 |
|
(x x )n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Применив к этому пределу правило Лопиталя последовательно n 1
раз, получим неопределенность :
lim |
r (x) |
|
lim |
(r (x))(n 1) |
lim |
f (n 1) (x) T(n 1) |
(x) 0 |
||||||
n |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
. |
|||
(x x ) |
n |
|
n |
) |
(n 1) |
n!(x x ) |
|
0 |
|||||
x x0 |
|
x x0 ((x x ) |
|
|
x x0 |
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Эту неопределенность раскроем применяя определение производной функции f (n 1) (x) Tn(n 1)(x) в точке x0 :
|
|
|
|
lim |
f (n 1)(x) T(n 1) |
(x) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n!(x x0) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
( f |
(n 1)(x) T(n 1) (x)) ( f (n 1)(x |
0 |
) T(n 1) |
(x )) |
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
n!(x x0) |
|
|
|
|
||||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
( f (n 1) Tn(n 1) ) |
|
|
1 |
( f (n)(x0) Tn(n) (x0)) 0. |
|
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
n! |
|
|
|
x x0 n! |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Что и требовалось доказать.
57
3) Фиксируем некоторое x (a,b) и положим d |
n |
|
f (x) Tn (x) |
. |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x x )n 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Рассмотрим функцию F(t) f (t) T (t) d |
n |
(t x )n 1. Прямые вы- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
числения показывают, что F(k) (x ) 0, k 0,1,2,...,n,, и что благо- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
даря выбору dn выполняется условие F(x) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно, по лемме 9.1 между x0 и |
x |
|
|
найдется такая |
|||||||||||||
точка c c(x), в которой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(n 1) (c) f (n 1) (c) T (n 1) |
(c) d |
n |
(n 1)! f (n 1)(c) d |
n |
(n 1)! 0. |
||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда получаем, что d |
|
|
f (x) T (x) |
|
|
f (n 1)(c) |
и, значит, |
||||||||||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(x x )n 1 |
(n 1)! |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) T (x) |
f (n 1) (c) |
|
(x x )n 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
|
|
(n 1)! |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана.
Поясним, что означает доказанное утверждение 2) теоремы 9.1 с практической точки зрения. Согласно этому утверждению, какой бы сложной ни была сама функция y f (x), если она имеет в неко-
торой точке x0 n производных, то существует многочлен Тейлора
Tn (x), значения которого вычисляются только с помощью действий умножения, сложения и вычитания, такой, что его значения вблизи x0 отличаются от значений самой функции f (x) на величину rn (x)
более высокого порядка малости, чем величина x x x0 , взятая в степени n. Например, если x 0,1 и n 5, то погрешность замены f (x) на T5 (x) будет иметь порядок ( x)5 0,00001.
В свою очередь утверждение 3) позволяет более точно оце-
нить погрешность rn (x) приближенной формулы f (x) Tn (x).
58
Следствие 9.1. Пусть функция f (x) имеет в точке x0 произ-
водные до k-го порядка включительно. Тогда, если y(k)(x ) 0, то |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
при всех достаточно малых x x x0 |
величина |
|
|||||||||
(k) |
1 |
y(k) (x )(x x )k |
r (x) |
1 |
y |
(k) (x )( x)k r (x) |
|||||
|
|
||||||||||
|
k! |
0 |
0 |
k |
|
|
k! |
0 |
k |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
эквивалентна величине d(k) y(x ) |
1 |
y(k)(x )(x x )k и |
имеет знак, |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
k! |
0 |
0 |
|
||
совпадающий со знаком d(k) y(x ). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
В частности, если k 2m (четно), то при всех x |
достаточ- |
||||||||||
но близких к x |
величина (k) |
имеет постоянный знак, совпадаю- |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
щий со знаком y |
(k)(x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если k 2m 1 (нечетно), то при x, |
достаточно близких к |
||||||||||
x , величина (k) |
меняет свой знак при переходе аргумента x через |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 слева направо.
Доказательство. Рассмотрим предел
|
|
|
|
|
|
(k) |
|
|
|
|
1 |
|
y(k) (x )( x)k r (x) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
0 |
|
|
|
|
|
k |
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x x0 d(k) |
(x ) x 0 |
|
|
1 |
|
y |
(k) |
(x0)( x) |
k |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
rk (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
rk (x) |
|
|||||||
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
lim |
1 |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x 0 |
|
|
y |
(k) |
(x )( x) |
k |
|
|
|
|
|
|
y(k)(x ) x 0 ( x)k |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
k! |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ибо, по доказанному в теореме 9.1 |
lim |
rk (x) |
|
0. Таким образом, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 ( x)k |
|
|
|
|
|
|
||||
эквивалентность |
величин (k) |
|
и |
d(k) y(x ) |
доказана. |
Остальные |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
утверждения следуют непосредственно из этого результата, так как
59
при четном k знак ( x)k всегда положителен, а при нечетном k
знак ( x)k меняется при переходе аргумента x через x0 слева направо.
Следствие доказано.
§ 10. Исследование поведения функции с помощью многочлена Тейлора
Точка из области определения функции называется стационарной, если ее производная (скорость изменения функции в этой точке) равна нулю. Согласно определению 5.1 стационарная точка является критической и, значит, в стационарной точке у функции может быть экстремум. Следующая теорема позволяет по знаку первой не равной нулю производной, вычисленной в стационарной точке,
определить, есть в этой точке экстремум или нет. |
|
||||||||
Теорема 10.1. Пусть в стационарной точке x0 первая не равная |
|||||||||
нулю производная |
y(k)(x ) 0 имеет порядок k. Тогда, если k не- |
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
четное число, то экстремума в точке x0 |
нет, а если четное, то |
||||||||
экстремум |
есть. |
Причем x0 |
будет точкой максимума, если |
||||||
y(k)(x ) 0, и минимума, если y(k)(x ) 0. |
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Доказательство. По условию в точке x0 |
все производные |
до по- |
|||||||
рядка k включительно существуют и, начиная с y'(x0) 0, |
равны |
||||||||
нулю до порядка k 1 1 включительно. |
Поэтому многочлен Тей- |
||||||||
лора порядка k функции |
y y(x) в точке x0 существует и имеет |
||||||||
вид T (x) y(x ) |
1 |
y(k)(x )(x x )k . Отсюда по формуле Тейлора |
|||||||
|
|||||||||
k |
0 |
|
k! |
0 |
0 |
|
|
||
(9.5) получаем равенство |
|
|
|
|
|||||
y(x) y(x ) |
1 |
y(k) (x )(x x )k |
r (x). |
|
|
||||
|
|
|
|||||||
0 |
|
k! |
0 |
0 |
k |
|
|
||
В результате
60