Учебное пособие 1586

допустимых решений Di, i 1,s-1 образуют сужающиеся подмножества:

Ds 1 ... D2 D1 D.

Недостатком данного метода является то, что он не позволяет справедливо учитывать интересы менее важных частных критериев, так как не допускает их уменьшения, если это вызывает хотя бы незначительное увеличение более важных критериев.

Этот недостаток в некоторой степени устраняется в

методе последовательных уступок. При использовании этого метода на каждом k-м шаге последовательной оптимизации (7.1) вводится уступка fk 1, характеризующая допустимое отклонение (k-1)-го частного критерия оптимальности от его

минимального значения fk* 1:

f1* min f1(X)

Введение уступки по (k-1)-му наиболее важному частному критерию позволяет улучшить значение k-го менее важного частного критерия.

Развитием метода последовательных уступок является процедура, в которой уступки fk, k 1,s упорядочиваются

компромиссе, называемая методом минимизации уступок,

может быть сведена к задаче параметрической оптимизации:

130

Решение экстремальной задачи (7.4) позволяет получить оптимально-компромиссное решение, которое минимизирует наибольшее отклонение каждого k-го частного критерия оптимальности от его минимально возможного значения:

Данный подход к определению оптимальнокомпромиссного решения получил в литературе название

метода гарантированного результата. Решение задачи (7.5)

обеспечивает наибольшую равномерность отклонения значений частных критериев от их минимально допустимых значений за счет подтягивания “наихудшего” частного критерия до уровня остальных. Вследствие того, что операции проводятся в области компромисса, подтягивание “отстающего” критерия неизбежно приводит к ухудшению значений части остальных критериев. Но при проведении ряда

131

шагов можно добиться определенной степени уравнивания противоречивых (конфликтных) частных критериев.

Для несоизмеримых по важности частных критериев можно принять соглашение о том, что они являются равноценными. В этом случае используется принцип равенства частных критериев:

minf1(X) (7.6)

X D

при условии, что

f1(X) f2(X) ... fs(X)

При использовании данного принципа необходимо учитывать, что в некоторых случаях задача параметрической оптимизации (7.6) может оказаться неразрешимой, либо ее оптимальное решение не будет эффективным для исходной многокритериальной задачи.

Из рассмотренных в данной главе подходов к определению оптимально-компромиссного решения в задачах векторной оптимизации видно, что с помощью различных преобразований многокритериальные задачи сводятся к задачам скалярной оптимизации. Для решения полученных однокритериальных задач могут использоваться методы, изложенные в главах 2 – 5 настоящего пособия. Эти методы составляют основу инвариантного математического обеспечения для решения оптимизационных задач.

132

8. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ

Рассмотрим примеры прикладных оптимизационных задач, использующихся при поиске оптимальных проектных и управленческих решений в автоматизированных системах.

Задачи производственного планирования

Задачи производственного планирования широко используются в автоматизированных системах управления производством. Рассмотрим некоторые обобщённые оптимизационные модели для решения задач производственного планирования.

1. Задача определения оптимального производственного плана. Для изготовления n видов продукции A1,…,An необходимы ресурсы S1,…,Sm (сырье, рабочая сила, оборудование и т. д.). Заданы значения aij, которые характеризуют количество ресурса Si, необходимого для выпуска единицы продукции Aj. Запас каждого ресурса Si ограничен и равен bi . От реализации единицы продукции Aj может быть получена прибыль cj. Необходимо так составить производственный план (т. е. определить, сколько продукции каждого вида необходимо выпустить), чтобы общая прибыль от производства всей продукции была максимальной.

Обозначим через xj количество продукции Aj, которое необходимо выпустить по плану. Тогда математическая модель данной задачи имеет следующий вид:

c1x1+ c2x2+...+ cnxn max;

133

n

aijxj bi, i 1,m; j 1

xj 0, j 1,n.

Здесь целевая функция – это общая прибыль от производства всей продукции. Каждое i-е ограничение характеризует общее количество ресурса Si, которое не должно превышать величины bi.

Пример задачи производственного планирования и ее решение симплекс-методом приведены в разделе 3.2.

Кроме ограничения по ресурсам, в условия задачи (а, следовательно, и в ее математическую модель) могут вводиться дополнительные ограничения на планируемый выпуск продукции (ограничения по ассортименту, условия комплектности и т. д.).

2. Задача о комплектах.

Пусть планируется производство комплектных изделий. Каждое изделие содержит m видов деталей, причем деталей первого вида – k1 единиц, деталей второго вида – k2 единиц, деталей j-го вида – kj единиц. Изделия могут изготавливаться n различными исполнителями. Пусть в единицу времени i-й исполнитель может изготовить aij элементов j-го вида. Сдаче подлежат только комплектные изделия. Каждый i-й исполнитель работает не более bi часов. Определить такой план загрузки исполнителей, чтобы общее число выпускаемых комплектных изделий было максимальным.

Обозначим через xij время изготовления деталей j-го

вида i-м исполнителем. Тогда общее число деталей j-го вида, изготавливаемых всеми исполнителями, определится в виде

Dj a1jx1j ... anjxnj, j 1,m.

134

Общее количество изделий, для выпуска которых хватит деталей j-го типа при условии, что kj единиц расходуется на одно изделие равно

Тогда общее число комплектов определится следующим образом:

min Ij

j 1,m

В результате математическую модель задачи можно сформулировать в виде:

xi1 ... xim bi, i 1,n ;

xij 0,i 1,n, j 1,m.

Для формализации данной постановки в виде задачи линейного программирования введем новую переменную:

Тогда окончательный вид математической модели задачи: y max

135

n

aijxij ykj 0, j 1,m

i 1

m

xij bi, i 1,n

j 1

3. Задача о раскрое. Для изготовления заготовок D1,…,Dm имеется n способов раскроя материала A1,…,An. При этом aij – количество заготовок i-го типа, получаемых из еди-

ницы материала при способе Aj. Имеется D единиц материала. При раскрое единицы материала по способу Aj имеются отходы площадью cj . Необходимо произвести bi заготовок i-го

типа и выполнить план с минимизацией отходов.

Пусть xj – количество единиц материала, раскраиваемо-

го по j-му способу.

Математическая модель задачи имеет вид:

n

cjxj min;

j 1

Задачи транспортного типа

Одним из наиболее значимых классов задач линейной оптимизации являются задачи транспортного типа.

136

Пусть имеется m пунктов отправления А1,А2,…,Аm, в которых сосредоточен однородный груз в количествах а1,а2,…,аm единиц, и n пунктов назначения B1,B2,…,Bn, потребности которых в данном грузе равны b1,b2,…,bn. Cтоимость перевозки единицы груза из пункта Ai в пункт Bj (тариф) составляет cij единиц. Требуется составить план перевозок, позволяющий вывезти все грузы из пунктов отправления, удовлетворить все потребности в грузах в пунктах назначения и имеющий минимальную стоимость.

Обозначим через xij количество единиц груза, перевозимое из i-го пункта отправления (Ai) в j-й пункт назначе-

ния (Bj).

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

m n

cijxij min i 1j 1

xij 0

Ограничения (8.1) означают, что весь груз должен быть полностью вывезен из пунктов отправления. Ограничения (8.2) означают, что все потребности в грузах должны быть удовлетворены.

Для разрешимости транспортной задачи необходимо, чтобы её модель была закрытой, т.е. общая потребность в грузе в пунктах назначения была равна общему запасу груза в

m n

пунктах отправления: аi b j. В противном случае

модель транспортной задачи должна быть преобразована к закрытому виду путём введения фиктивного пункта

137

Рассмотренная оптимизационная модель может использоваться не только для решения задач перевозки грузов, но и в других предметных областях, например, для решения задач передачи информации в информационновычислительных системах.

Задача о ранце

Имеются предметы n видов, причем для каждого предмета j-го вида (j=1,n) известны его объем aj 0 и стои-

мость cj 0. Необходимо определить такой набор предметов,

суммарный объем которых не превышал бы заданного числа b, а суммарная ценность была бы максимальной. Эта задача интерпретируется как задача загрузки ранца объема b и назы-

вается одномерной задачей о ранце.

Введем целочисленные переменные xj (j 1,n), значе-

ния которых характеризует количество предметов j-го вида, помещенных в ранец. Тогда математическая модель данной задачи имеет вид:

n

cjxj max;

j 1

n

ajxj b;

j 1

xj 0, j 1,n, xj -целые .

Если ограничениями могут быть не только объем ранца, но и другие его характеристики bi , то получим многомерную задачу о ранце:

138

n

cjxj max;

j 1

n

aijxj bi,i 1,m;

j 1

xj 0, j 1,n, xj -целые

В случае, если количество предметов j-го вида ограничено и равно dj , к задаче добавляется ограничение xj dj.

Если dj =1, то получим задачу о ранце с булевыми перемен-

ными. Тогда xj {0,1}, причем xj 1, если j-й предмет поме-

щен в ранец, xj 0 в противном случае.

К задаче о ранце сводится широкий класс задач дискретной оптимизации с ограниченными ресурсами. Рассмотрим примеры прикладных задач.

Пример 8.1. Для организации вычислительной лаборатории могут быть использованы четыре типа ЭВМ. Производительность ЭВМ первого типа равна t1,, второго - t2, третьего - t3 , четвертого - t4 . Стоимость ЭВМ первого типа a1 тыс.руб, второго - a2 тыс. руб, третьего - a3 тыс. руб, четвертого - a4 тыс. руб. Потребляемая мощность ЭВМ первого типа b1 Вт, второго - b2 Вт, третьего - b3 Вт, четвертого - b4 Вт. ЭВМ первого типа занимает площадь c1 кв.м., второго c2 кв.м., третьего c3 кв.м., четвертого c4 кв.м. Необходимо определить, сколько ЭВМ и какого типа надо выбрать, чтобы обеспечить максимальную производительность при ограниченных стоимостных ресурсах d1 тыс. руб, энергетических ресурсах d2 Вт и ограниченной площади d1 кв.м.

Математическая модель задачи имеет вид:

139