Учебное пособие 1469

3.2.Важнейшие распределения наработки.

Втеории надежности большое значение имеют некоторые теоретические распределения наработки, хорошо аппроксимирующие реальные распределения. Основными статистическими характеристиками распределения случайной наработки являются:

функция распределения F(t),

плотность вероятности f(t),

вероятность безотказной работы F (t) , математическое ожидание E(X), дисперсия D2(X),

интенсивность отказов γ(t).

Эти характеристики для наиболее часто используемых распределений приведены в настоящем разделе.

1. Усеченное слева нормальное распределение.

При этом обозначено A 1 /1 . Нетрудно убе-

диться, что согласно такому определению F(0)=0 и F(∞)=1, в то время как для нормально распределенной случайной величины

ностью принимает отрицательные значения. Именно поэтому нормальное распределение «усекают» слева относительно 0.

2. Распределение Вейбулла-Гнеденко.

Если случайная величина X / , 0, 0 экспо-

ненциально распределена с параметром =1, то случайная величина X имеет распределение Вейбулла-Гнеденко.

Последовательная система, образованная из независимых элементов, имеющих одинаковое распределение ВейбуллаГнеденко, также имеет распределение Вейбулла-Гнеденко.

111

3. Распределение Эрланга.

В частном случае n=1 распределение Эрланга превращается в экспоненциальное распределение с параметром α.

(t)

112

Относится к наиболее используемым распределениям, поскольку упростить исследования и вообще провести вычисления часто можно лишь для «не стареющих» систем с экспоненциально распределенной наработкой. Не подходит для моделирования сильных изменений интенсивности отказов в течение времени.

5. Гамма распределение.

Интенсивность отказов для гамма-распределения является возрастающей при β>1 и убывающей при β<1.

6. Логарифмически нормальное распределение.

Если величина Y=ln(X) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием µ и дисперсией 2, то X называется логарифмически нормально распределенной случайной величиной.

113

Обратное гауссовское распределение используется тогда, когда работоспособность системы зависит от нормально распределенного параметра, изменение которого во времени приводит к постепенному отказу.

3.3. Методы статистического оценивания наработки по результатам испытаний.

На практике при анализе надежности систем, вообще говоря, не знают (полностью или частично), каковы функции распределения наработок и времени восстановления. Информацию об этих распределениях получают при оценивании результатов измерения или наблюдения с помощью соответствующих статистических методов.

Основной задачей далее является аппроксимация полученного эмпирического распределения некоторым теоретическим (например, одним из рассмотренных в предыдущем разделе) с целью определения требуемых характеристик надежности анализируемой системы (например, средней наработки). Такая аппроксимация основывается на выявлении «схожести» эмпирического и одного из предлагаемых теоретических распределений при некоторых значениях параметров.

К настоящему времени разработаны несколько методов подобной аппроксимации, в основе которых лежит понятие полной выборки. Под полной (простой) выборкой порядка n случайной наработки X с функцией распределения F понимают случайный вектор Xn*=(X1,X2,...,Xn), компоненты Xi которого являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения F(t)=P(Xi≤t). Если xi – реализация выборки Xi, то xn=(x1,x2,...,xn) есть реализация выборки Xn, или конкретная выборка порядка n. Ее можно получить, если зарегистрировать наработки n статистически эквивалентных систем, которые работают независимо друг от

115

друга в одинаковых условиях. Если упорядочить компоненты конкретной выборки по возрастанию, получим реализацию со-

ответствующей упорядоченной выборки

X*(n)=(X(1),n, X(2),n,..., X(n),n), X(i),n≤ X(i+1),n, i=1,2,...,n-1. (75)

Пусть заданы полная выборка Xn*=(X1,X2,...,Xn) и соот-

ветствующая упорядоченная выборка X*(n)=(X(1),n, X(2),n,..., X(n),n) случайной наработки X, имеющей функцию распределе-

ния F. Определим кусочно-постоянную функцию с помощью формулы

при этом Fn(t) называется эмпирической функцией распределения.

Первый вариант аппроксимации заключается в сравнении графиков эмпирической и теоретической функции распределения «на глаз». Учитывая, что наибольшая точность подобного сравнения достигается, очевидно, при сравнении двух прямых, используют соответствующее преобразование координат.

Более строго: полагая, что рассматривается двухпараметрическое семейство распределений наработки {F(t;a,b);a,b}, в общем случае график F(t;a,b) как функции от t не позволяет сделать утверждение относительно того, к какому типу распределений принадлежит функция F. Однако после преобразования координат, переводящего функцию F(t;a,b) в прямую, сравнительно нетрудно вынести решение о применимости или неприменимости соответствующего теоретического распределения для описания анализируемой наработки «на глаз» по ви-

116

зуальной близости двух прямых. При этом соответствующее преобразование координат нетрудно определить из условия

Соответствующее преобразование координат для известных теоретических распределений можно выполнить сразу при построении сетки координат в трансформированном в соответствии с (77) масштабе. Подобные координатные сетки, построенные для конкретных теоретических распределений, называ-

ются вероятностной бумагой.

Вслучае, когда эмпирическое распределение может быть аппроксимировано некоторым теоретическим, точки выборки, нанесенные на соответствующую вероятностную бумагу, образуют прямую.

Всилу неточности подобного субъективного метода, существуют альтернативные критерии согласия теоретического и эмпирического распределений. Наиболее известным является

критерий согласия 2. Для применения этого критерия положительная действительная ось разбивается на k непересекающих-

ся интервалов I1=[a0,a1), I2=[a1,a2),..., Ik=[ak-1,ak), где a0=0, ak=∞.

Также задаются вероятности pj, j=1,2,...,k, того, что при гипотезе H (соответствующей тождеству F=F0, то есть согласию распределений) наработка X лежит в интервале Ij: pj=F0(aj)-F0(aj-1). Идея критерия 2 состоит в сравнении величин npj(среднее число значений наработки, попавших в интервал Ij при гипотезе H) с числом наблюдений mj, лежащих в интервале Ij и полученных в результате испытания, j=1,2,...,k. «Хорошее совпадение» npj и mj для j=1,2,...,k, говорит против отклонения гипотезы H.

В качестве меры отклонения (расстояния) используется 2-статистика вида

117

При гипотезе H эта тестовая статистика дает при n→∞ 2- распределение с (k-1) степенью свободы. Соответствующий тест выглядит следующим образом:

квантиля 2-распределения с (k-1) степенью свободы. Аналитические тесты согласия позволяют выносить бо-

лее точные решения, нежели вероятностная бумага. При этом помимо критерия согласия 2 существуют другие критерии (статистика Колмогорова-Смирнова, Крамера-Мизеса и другие), которые можно найти в соответствующей литературе.

3.4. Задачи по теории надежности.

Настоящий раздел содержит примеры задач по теории надежности.

Задача 1.

На испытании находится N0 =4000 образцов неремонтируемой аппаратуры. Число отказов ni фиксировалось через интервал ti .

Требуется вычислить значения и построить графики статистических оценок интенсивности отказов (t) , частоты от-

казов f (t) , вероятности безотказной работы P(t) и вероятности отказов Q(t).

Задача 2.

Для условия задачи 1 вычислить значения средней наработки на отказ в предположении, что:

a)на испытании находились только те образцы, которые отказали;

b)на испытании находилось N0 =4000 образцов.

Закон распределения наработки до отказа принять показательный.

Задача 3.

Используя функцию надежности, полученную в результате расчета в задаче 1, оценить, какова вероятность того, что радиотехническое устройство, работавшие безотказно в интервале (0...200) часов, не откажет в течение следующего интерва-

ла (200...400) часов.

Задача 4.

119