Учебное пособие 1395

3x1 2x2 4x3 21, 1.2. 3x1 4x2 2x3 9,

2x1 x2 x3 10.

Решить систему линейных уравнений с помощью метода Гаусса с выбором главного элемента:

x1 6.25x2 0.5x3 7.5, 1.3. 5x1 x2 2.12x3 8.68,

2.12x1 0.5x2 3.6x3 0.24.

Вычислить определитель матрицы с помощью метода Гаусса:

Найти обратную матрицу с помощью метода Гаусса:

31

Решить систему линейных уравнений методом квадратных корней:

x1 2x2 x3 2x4 15,

1.9. 2x1 5x2 3x3 x4 18,x1 3x2 11x3 3x4 12,

2x1 x2 3x3 30x4 93.

Решить систему линейных уравнений методом простой итерации с точностью 0.01:

Решить систему линейных уравнений методом ГауссаЗейделя с точностью 0.01:

32

10x1 3x2 2x3 30,

33

2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Основные этапы поиска корней нелинейного уравнения

Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида

F(x) 0

встречается в различных областях научной или прикладной деятельности. Как и в случае линейных уравнений, методы их решения делятся на две группы:

-прямые;

-итерационные.

Прямые методы позволяют записать для корней некоторые конечные формулы. Но, как правило, они предназначены для решения простых уравнений определенного вида (квадратных, логарифмических, тригонометрических и т.д.).

Итерационные методы являются более универсальными и позволяют решать сложные практические задачи. Алгоритм поиска корней уравнения с помощью итерационных методов состоит из двух этапов:

1)локализация решения – на этом этапе производится определение отрезка, содержащего корень уравнения; такой отрезок может находиться из физических соображений, с помощью графических или других методов; для некоторых методов достаточно задание не отрезка, а одной точки – начального приближения;

2)итерационное уточнение начального приближения до требуемой степени точности.

2.2. Метод половинного деления

Пусть на этапе локализации решения было установлено, что искомое значение корня уравнения x c расположено на

34

отрезке a,b . Тогда в качестве начального приближения c0 принимается середина отрезка c0 (a b)/2. Далее значение функции F(x) исследуется на концах отрезков [a,c0] и [c0,b]. Тот из отрезков, на концах которого F(x) принимает значения различных знаков, содержит искомый корень; поэтому он принимается в качестве нового отрезка [a1,b1]. Вторая половина отрезка a,b , на которой знак F(x) не меняется, отбрасывается. В качестве первого приближения корня принимается середина нового отрезка c1 (a1 b1)/2 и т. д. Таким образом, k-е приближение вычисляется как

ck ak bk . 2

Процесс решения продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие

отрезках имеют разные знаки, то отрезок содержит корень уравнения.

[a2,b2] [0.75, 1.125], c2 (a2 b2)/2 0.9375.

Результаты следующих итераций приведены в табл. 5. Как видно из таблицы, заданная точность достигнута

при n 8 и можно принять x с8 0.999. Если бы нужно было

35

найти более точное решение, то уже на следующей итерации мы бы получили, что x 1.

2.3. Метод хорд

В методе хорд процесс итераций состоит в том, что в

осью абсцисс.

Сначала находим уравнение хорды, проходящей через точки a и b:

Для точки пересечения ее с осью абсцисс (x c0,y 0) получим уравнение

Далее, сравнивая знаки величин F(a) и F(c0), находим ту половину отрезка, на концах которого знаки функций противоположны. Следующая итерация состоит в определении

36

нового приближения с1 как точки пересечения хорды с осью абсцисс и т. д. (рис. 1).

Рис. 1. Решение нелинейного уравнения с помощью метода хорд

Условием окончания в методе хорд служит условие близости двух последовательных приближений

По сравнению с методом половинного деления метод хорд обладает более высокой скоростью сходимости, т.е. позволяет найти решение уравнения за меньшее число итераций. Кроме того, оба рассмотренных метода не требуют

F(b) F(c0) 0, то a c0 . Вычислим следующее приближение:

и т.д. Результаты занесем в табл. 6.

37

Таблица 6

Как видно из результатов вычислений, решение с требуемой точностью получено уже на второй итерации.

2.4. Метод Ньютона (метод касательных)

В отличие от предыдущих двух методов, не требующих знания о дифференцируемости функции F(x), метод Ньютона является более сложным алгоритмом, использующим в итерационном процессе производную исходной функции. Как результат, метод обладает более быстрой сходимостью (для некоторых видов функций), но в то же время применяется для решения более узкого класса задач и его сходимость не всегда гарантирована.

Отличие метода Ньютона от метода хорд состоит в том, что на k-й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой y F(x) при x ck 1 и находится точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок [a,b], содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня x c0

(рис. 2).

38

Найдем производную заданной функции:

F(x) 2x 3.

В качестве начального значения возьмем точку c0 0 и

определим первое приближение:

c1 0 ( 4)/3 1.3334.

Результаты вычисления остальных приближений занесем в табл. 7.

Таблица 7

Как видно из результатов вычислений, решение с заданной степенью точности получено на четвертой итерации.

Контрольные вопросы

1.Какие группы методов существуют для решения нелинейных уравнений?

2.Из каких основных этапов состоит процесс решения нелинейного уравнения с помощью итерационных методов?

3.Как найти корень нелинейного уравнения с помощью метода половинного деления?

4.В чем заключается метод хорд решения нелинейных уравнений?

5.Как найти корень нелинейного уравнения с помощью метода Ньютона? Чем данный метод отличается от метода половинного деления и метода хорд?

40