Учебное пособие 1352

∑ – масса системы.

Продифференцировав уравнение (3.5) дважды, получим теорему о

Центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, под действием только внешних сил. Внутренние силы системы, в силу своих свойств (3.4), не могут изменить характера движения центра масс механической системы, но оказывают влияние на взаимное положение и движение материальных точек, входящих в систему.

Следствия из теоремы о движении центра масс выражают закон сохра-

нения движения ее центра масс: если ∑ , то ; . Количеством движения (импульсом) механической системы называется

вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) импульсов всех ма-

Вектор количества движения имеет направление скорости центра масс

механической системы . Дифференцируя уравнения (3.7), получим закон изменения количества движения системы

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе в течение этого промежутка времени.

Для характеристики количества вращательного движения тела используют другую физическую величину – момент количества движения (момент импульса). Момент количества движения материальной точки относительно

– момент количества движения точки относительно центра О;

–масса точки;

– скорость точки;

– радиус вектор точки М относительно О; 11

– кратчайшее расстояние от центра О до вектора .

Кинетическим моментом механической системы относительного цен-

тра О, называют вектор , равный геометрической сумме моментов количеств движения всех тел системы относительного данного центра

Кинетический момент твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен

,

где – момент инерции твердого тела относительно оси z, – угловая скорость тела.

Дифференцируя уравнения (3.12) по времени, получим теорему об изменении кинетического момента системы

Производная по времени кинетического момента механической системы относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов

моментов внешних сил относительно оси z.

Следствия из теоремы об изменении кинетического момента тела или системы выражают закон сохранения кинетического момента как вектора или

Для абсолютно твердого тела формула кинетической энергии имеет более простое выражение, которое определяется характером движения тела:

1) если тело массой М совершает поступательное движение, то

(3.17)

2) если тело вращается относительно неподвижной оси z, то

12

где – угловая скорость тела;

–момент инерции тела относительно оси вращения.

3)если тело совершает плоскопараллельное движение и полюс совпадает с центром масс тела, то

(3.19)

где – скорость центра масс тела;

– момент инерции относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости движения через центр масс тела. Осевые моменты инерции некоторых тел даны в приложении 1. Если задан радиус инерции твердого тела относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции тела определяется по формуле

,

где – масса тела, – его радиус инерции.

В общем случае пространственного движения твердого тела кинетиче-

здесь – момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, про-

ходящей через центр масс; – угловая скорость вращения тела относительно мгновенной оси.

Согласно теореме С. Кенига кинетическая энергия в общем случае движения твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс.

Причиной изменения кинетической энергии механической системы является работа сил, приложенных к этой системе. Для каждой точки системы

массой , движущейся со скоростью , можно записать:

здесь – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях.

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещении.

13

Работа силы есть алгебраическая величина, рав-

та положительная, если направление момента силы совпадает с направлением углового перемещения тела, и отрицательная, если не совпадает.

Если на тело действует консервативная сила, то работа силы не зависит от траектории, а зависит от начального и конечного положений тела на ней. Работа консервативной силы по замкнутой траектории равна нулю.

Работа консервативных сил приводит не только к изменению кинетической энергии системы, но и к отрицательному изменению ее потенциальной энергии, поэтому полная механическая энергия тела не изменяется. Таким образом, если на тело действуют только консервативные силы, то механическая

энергия тела сохраняется ( ).

3.4. Задача Д2. Применение теоремы об изменении кинетической энергии

Механическая система состоит из грузов 3 и 4, коэффициент трения которых о плоскость , сплошного цилиндрического катка 5 и ступенчатых шкивов 1 и 2 с радиусами ступеней ; ; ;

. Массы шкивов равномерно распределены по их внешним контурам (рис. Д2.0–Д2.9, табл. Д2). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Под действием силы ( ), которая зависит от перемещения S точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 1 и 2 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные, соответственно, М1 и М2.

14

15

Таблица Д2

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы равно S. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл. Д2, где – скорость груза 3; – скорость центра масс катка 5; – угловая скорость тела 1 и т.д.

Указания

При решении задачи Д2 следует учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергий всех входящих в систему тел; эту энергию нужно выразить через искомую скорость (линейную или угловую).

Для установления зависимостей между линейной скоростью и угловой скоростью катящегося тела можно использовать мгновенный центр скоростей.

При определении работы линейные и угловые перемещения всех тел системы следует выразить через заданное перемещение S, учитывая, что эта зависимость будет аналогичной зависимости между линейными и угловыми скоростями тел. Если по данным табл. Д2 масса груза равна 0, то этот груз допускается не изображать на чертеже и не учитывать в расчетах. Шкивы 1 и 2 всегда входят в систему.

Пример решения задачи Д2

Механическая система (рис. Д2) состоит из сплошного цилиндрического катка 1, ступенчатого шкива 2 с радиусами ступеней и (масса шкива равномерно распределена по его внешнему ободу) и груза 3 (коэффициент трения груза о плоскость равен ). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкив 2.

16

Рис. Д2

Решение Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоя-

щей из тел 1, 2, 3, соединенных нитями. На систему действуют внешние силы:

.

В начальный момент система находилась в покое, поэтому . Определим кинетическую энергию системы после того, как каток пройдет расстояние . Кинетическая энергия системы величина аддитивная и равна сумме кинетических энергий тел, входящих в систему:

.

Первое тело системы – каток совершает плоское движение, поэтому его кинетическая энергия складывается из двух частей: энергии поступательного движения и энергии вращательного движения

,

Угловая скорость катка выражается через его линейную скорость ⁄ , момент инерции сплошного цилиндрического катка имеет вид

Второе тело системы (шкив) вращается относительно неподвижной

Подставив все известные величины в формулу энергии, получим:

.

Причиной изменения кинетической энергии системы является работа внешних сил, приложенных к ней. Найдём сумму работ всех действующих

Сравним работу сил системы и изменение ее кинетической энергии

.

Ответ:

3.5. Задача Д3. Применение теоремы о движении центра масс

Механическая система состоит из призмы 1, расположенной на горизонтальной гладкой поверхности, и трех тел, соединенных невесомой нерастяжимой нитью (рис. Д3.0…Д3.9). Блок 3, укрепленный на призме, вращается согласно закону ( ) и приводит в движение тела 2 и 4. Этими телами являются: параллелепипед, цилиндрический каток или шкив. Параллелепипед скользит без трения по поверхности призмы, цилиндрический каток движется без проскальзывания по поверхности призмы, а шкив вращается вокруг непо-

18

движной оси. Блок, каток или шкив представляют собой сплошные однородные цилиндры.

Исходные данные для решения приведены в табл. Д3 и на рис. Д3.0…Д3.9.

19

Рис. Д3.8 Рис. Д3.9

Указания к работе

Системы находится на горизонтальной гладкой поверхности, и на нее действуют только вертикальные внешние силы, следовательно, сумма проекций всех внешних сил данной системы равна на ось нулю ∑ . В этом случае систему можно считать замкнутой в направлении оси .

Для решения задачи можно воспользоваться законом сохранения импульсов или законом сохранения движения центра масс (в проекции на ось ). Первоначально система находилась в состоянии покоя, следовательно, и в последующие моменты времени координата ее центра масс изменяться не будет, хотя отдельные тела системы могут совершать относительные движения под действием внутренних сил системы.