Учебное пособие 1272

подгруппа G1 аннулируется числом m1 , а G2 - числом m2 .■

Теорема 32 допускает обобщение на сумму нескольких слагаемых.

Теорема 33. Пусть аннулятор m группы G разлагается в произведение m = m1m2...mk попарно взаимно простых сомножителей. Тогда группа G разлагается в прямую сумму своих подгрупп с аннуляторами m1, m2 , ... , mk .

2.3.Примарные группы. Основная теорема о конечных абелевых группах

Наложим ограничение на аннулятор группы. Определение. Конечная абелева группа называется

примарной, если ее аннулятор есть степень простого числа. Как уже отмечалось, порядок группы является ее анну-

который не является степенью простого числа. Поэтому G = ( 6 , +) не является примарной группой.

Теорема 34. Конечная абелева группа разлагается в прямую сумму своих примарных подгрупп.

Доказательство. Пусть G - конечная абелева группа и m - ее аннулятор. Натуральное число m запишем в виде канонического разложения:

m = p1k1 p2k2 ...psks ,

где pi - простые числа и ki , i =1, s . Заметим, что числа m1 = p1k1 , m2 = p2k2 , … , ms = psks будут попарно взаимно

простыми в силу свойств взаимно простых чисел. Тогда в силу теоремы 33 группа G разлагается в прямую сумму своих подгрупп

G = G1 G2 ... Gs ,

где G1 имеет аннулятор m1 , G2 - имеет аннулятор m2 и так далее. Причем все Gi , i =1, s являются примарными подгруппами, так как их аннуляторы mi = piki являются степенями простых чисел pi . ■

Из предыдущих теорем следует

Теорема 35 (основная теорема о конечных абелевых группах). Любая ненулевая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих примарных циклических подгрупп, и такое разложение единственно с точностью до изоморфизма и перестановки слагаемых.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 53. Пусть G - абелева группа порядка 100. Разложим ее в прямую сумму примарных циклических подгрупп. В силу следствия из теоремы 12 п. 1.8 каждая конечная группа порядка m изоморфна аддитивной группе вычетов m . Поэтому G 100 и разложение группы G строим с

точностью до изоморфизма.

Порядок группы 100 разложим на простые множители

100 = 22 52 . Тогда G будет изоморфна одной из следующих групп:

G3 = 4 5 5 ,

G4 = 2 2 5 5 .

Отметим, что разложения 2 50 здесь нет, так как группа 50 не является примарной (ее порядок не является степе-

нью простого числа).

Пример 54. Опишем с точностью до изоморфизма все абелевы группы порядка 36.

Задача сводится к описанию всех возможных наборов (n1, n2 ,..., nk ) таких, что n1n2...nk = 36 и ni - ненулевая сте-

пень простого числа ( i =1, k ). При этом порядок чисел n1, n2 ,..., nk роли не играет.

Так как 36 = 22 32 , то для набора (n1, n2 ,..., nk ) имеется четыре возможности:

(4,9) , (2, 2,9) , (4,3,3) , (2, 2,3,3) .

Следовательно, с точностью до изоморфизма существует ровно четыре абелевы группы порядка 36:

G1 = 12 72 и G2 = 18 48 .

Сначала разложим каждую циклическую группу из данных разложений в прямую сумму ее примарных компо-

нент. Так как 12 = 22 3 , 72 = 23 32 , 18 = 2 32 , 48 = 24 3,

тогда

Отсюда получаем разложения исходных групп в прямые суммы примарных циклических подгрупп:

G1 = 12 72 = 4 3 8 9 ,

G2 = 18 48 = 2 9 16 3 .

Так как эти разложения существенно различны, то заключаем, что данные группы G1 = 12 72 и G2 = 18 48 не изоморфны.

Контрольные вопросы и задания к п. 2.1-2.3

1.Сформулируйте определение аннулятора элемента и аннулятора группы?

2.Сформулируйте теорему о разложении конечной абелевой группы в прямую сумму двух своих подгрупп.

3.Какая абелева группа называется примарной?

4.Сформулируйте основную теорему о конечных абелевых группах.

5.Найдите с точностью до изоморфизма все абелевы группы порядка: а) 72; б) 108.

6.Выясните, изоморфны ли группы:

а) Z6 Z36 и Z12 Z18 ;

б) Z6 Z36 и Z9 Z24 ;

в) Z12 Z72 и Z18 Z48 . (Ответ: а) да; б)-в) нет.)

§ 3. КОЛЬЦА И ПОЛЯ

В этом параграфе будут изложены основы общей теории колец и полей.

3.1. Понятие кольца и подкольца, их свойства

Понятие кольца уже было введено (см. часть 2 настоящего пособия). Напомним его.

Определение. Множество K с двумя бинарными операциями - сложением и умножением - называется кольцом, если:

1)(K, +) является абелевой группой;

2)(K, ) является полугруппой;

3)операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:

(a +b)c = ac +bc и a(b +c) = ab +ac a,b, c K .

Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна, т.е. ab = ba для любых элементов a,b K .

Если кольцо K содержит единицу, т.е. элемент 1 K со свойствами a 1 =1 a = a a K , то кольцо K называ-

ется кольцом с единицей.

Примерами колец являются следующие числовые кольца: - кольцо действительных чисел,

-кольцо рациональных чисел,

-кольцо целых чисел.

Примером нечислового кольца служит кольцо Mn ( )

всех квадратных матриц порядка n с действительными элементами, это некоммутативное кольцо.

Примером кольца без единицы может служить множество всех четных целых чисел 2 ={0, ±2, ±4,...} с обычными

операциями сложения и умножения чисел.

В любом кольце подмножество, состоящее из одного нулевого элемента 0 , является кольцом. Оно называется нулевым кольцом.

Основные свойства элементов кольца также уже обсуждались (см. часть 2 настоящего пособия). Напомним их.

1)a 0 = 0 a = 0 ;

2)−(−a) = a ;

3)(−a)b = a(−b) = −(ab) ;

4)(−a)(−b) = ab ;

Введем понятие подкольца. Это понятие является аналогом понятия подгруппы в группе.

Пусть K - кольцо и K1 - его непустое подмножество. Определение. Подмножество K1 кольца K называется

подкольцом, если выполняются условия:

Опишем свойства подкольца.

Теорема 36. Любое подкольцо кольца K является кольцом относительно операций, определенных в K .

Доказательство. Пусть K1 - подкольцо кольца K . Покажем, что (K1, +) - абелева группа. В силу определения подкольца для любого x K1 разность x − x = 0 K1 . Тогда разность 0 − x = −x K1 . Отсюда для любых x, y K1 верно x −(−y) = x + y K1 , т.е. сложение является бинарной опера-

цией в K1 . Коммутативность и ассоциативность сложения в K1 наследуется из кольца K .

Легко проверить, что (K1, ) является полугруппой. Действительно, умножение является бинарной операцией в K1 в силу определения подкольца. Ассоциативность умножения в K1 наследуется из кольца K .

Сложение и умножение в K1 связаны законами дистрибутивности, которые также наследуются из K . Таким образом, K1 является кольцом. ■

Теорема 37. Пересечение подколец также является подкольцом.

Доказательство. Пусть K1 и K2 - подкольца кольца K . Рассмотрим их пересечение K1 ∩K2 . Для любых x, y K1 ∩K2 имеем:

Приведем примеры подколец.

Пример 55. Любое кольцо всегда содержит два подкольца, которыми являются нулевое кольцо и само данное кольцо. Эти два подкольца называют несобственными, а все остальные подкольца данного кольца называют собствен-

ными.

Пример 56. В кольце K = целых чисел множество K1 = 2 всех четных чисел является подкольцом. Действи-

тельно, для любых x, y K1 имеем

xy = 2k 2m = 2(2km) = 2b , где b xy K1 .

Следовательно, K1 = 2 - подкольцо.

Пример 57. В кольце K = Mn ( ) квадратных матриц

порядка n с действительными элементами подкольцами являются следующие подмножества (докажите!):

кольца K2 .

Пример 58. В кольце K = C[a,b] функций, непрерывных на отрезке [a,b] , подкольцом является множество функций K1 ={ f : f (a) = f (b) = 0}, которые обращаются в нуль на концах этого отрезка. (Докажите!)

ца K .

3.2. Идеалы кольца

Среди подколец особую роль играют так называемые

идеалы.

Если какое-либо одно произведение xa или ax принадлежит I , то говорят о левом или правом идеале.

Из определения вытекает, что пересечение идеалов кольца само является идеалом (докажите!).

Выясним, какие из подколец примеров 55-58 являются идеалами.

Пример 60. В произвольном ненулевом кольце идеалами являются само кольцо и нулевое подкольцо {0}. Их на-

зывают несобственными идеалами. Кольцо, не содержащее других идеалов, называют простым. Так, произвольное поле

является идеалом, так как для любых a и x 2 имеем: ax = a 2k = 2(ak) 2 ; аналогично xa 2 .

Пример 62. В кольце Mn ( ) подкольцо K1 диагональных матриц идеалом не является, так как для произ-

значит AB / K1 .

Пример 63. В кольце C[a,b] непрерывных функций подкольцо K1 ={ f : f (a) = f (b) = 0} является идеалом.

Действительно, для любых g(x) C[a,b] и f (x) K1

имеем: (gf )(a) = g(a) f (a) = g(a) 0 = 0 ,

(gf )(b) = g(b) f (b) = g(b) 0 = 0 .

Аналогично ( fg)(a) = ( fg)(b) = 0 .

Идеалам в теории колец принадлежит та же роль, что и нормальным делителям в теории групп. Частично это подтверждается следующим.

Пусть K1 - подкольцо кольца K , тогда группу (K, +) можно разложить в смежные классы по подгруппе (K1, +) и построить фактор-группу KK1 . Заметим, что подгруппа (K1, +) является нормальным делителем группы (K, +) в си-

лу коммутативности операции + . Операция сложения на множестве смежных классов определяется равенством

Затем по аналогии со сложением определим умножение смежных классов по правилу

Это определение будет корректным, если потребовать, чтобы подкольцо K1 являлось идеалом. Справедлива следующая теорема.

Теорема 38. Если K1 есть идеал кольца K , то определение операции умножения на фактор-группе (KK1 , +) формулой (9) корректно, и алгебраическая структура (KK1 , +, ) является кольцом.

Указанное в теореме 38 кольцо (KK1 , +, ) относительно операций (8) и (9) называется фактор-кольцом кольца K по его идеалу K1 и обозначается KK1 .

3.3. Гомоморфизм и изоморфизм колец

Для колец, как и для групп, вводятся понятия гомоморфизма и изоморфизма.

В кольце определены сложение, вычитание и умножение его элементов. Поэтому гомоморфизм и изоморфизм колец должны характеризоваться таким отображением одного кольца на другое, которое сохраняет операции, определенные в данных кольцах.

Рассмотрим два кольца K1 и K2 .

Определение. Отображение ϕ : K1 → K2 называется

гомоморфизмом колец, если оно является гомоморфизмом относительно обеих операций + и , т.е.

ϕ(a +b) =ϕ(a) +ϕ(b) и ϕ(ab) =ϕ(a)ϕ(b) для любых a,b K1 .

Определение. Отображение ϕ : K1 → K2 называется изоморфизмом колец, если: 1) ϕ - взаимно однозначно; 2) ϕ - гомоморфизм.

Определение. Ядром гомоморфизма колец ϕ : K1 → K2

K2 соответственно.

3)Если K1 - кольцо с единицей 1 , то ϕ(1) =1′, где 1′ - единица кольца K2 .

4)Если ϕ : K1 → K2 - гомоморфизм колец, то Kerϕ - идеал кольца K1 .

5)Гомоморфизм ϕ : K1 → K2 является изоморфизмом тогда и только тогда, когда Kerϕ ={0}.

ляется гомоморфизмом, так как для любых a,b K1 имеем:

ϕ(a +b) = a +b = a +b =ϕ(a) +ϕ(b) ,

ϕ(ab) = ab = a b =ϕ(a)ϕ(b) .

Данное отображение ϕ не является взаимно однозначным; поэтому ϕ не является изоморфизмом. Ядро этого гомоморфизма Kerϕ состоит из всех элементов кольца K1 , которые отображаются в 0 , а значит Kerϕ состоит из всех целых чисел, которые нацело делятся на m , т.е. Kerϕ = m .

Пример 65. Рассмотрим кольца K1 ={a +bi 3; a,b }

физмом колец. (Докажите!)

Контрольные вопросы и задания к п. 3.3

1.Сформулируйте определение гомоморфизма колец.

2.Какие кольца называются изоморфными?

3.Что называется ядром гомоморфизма колец?

4.Перечислите свойства гомоморфизма колец.

5.Пусть ϕ : A → B - гомоморфизм колец A и B . Докажите,

что его ядро Kerϕ ={a A :ϕ(a) = 0} обладает свойством: если a,b Kerϕ , то a −b, ab Kerϕ , т.е. Kerϕ - подкольцо.

3.4. Разложение кольца в прямую сумму

В некоторых случаях изучение кольца можно свести к изучению его собственных идеалов.

Пусть K - кольцо и K1 , K2 - такие его подкольца, что группа (K, +) есть прямая сумма подгрупп (K1, +) и (K2 , +) . Тогда каждый элемент x K однозначно представляется в

виде x = x1 + x2 , где x1 K1 и x2 K2 ; и операции сложения и вычитания таких сумм производятся покомпонентно. Умножение таких сумм можно производить покомпонентно лишь, когда K1 и K2 являются идеалами кольца K . В этом

случае кольцо K называют прямой суммой своих идеалов (а

не подколец).

Сформулируем строгое определение.

Определение. Кольцо K называется разложимым, если существуют такие его собственные идеалы I1 и I2 , что

K = I1 + I2 и сумма I1 + I2 является прямой суммой абелевых групп (I1, +) и (I2 , +) . В этом случае говорят, что кольцо K есть прямая сумма идеалов I1 и I2 ; обозначение K = I1 I2 .

Если же таких идеалов не существует, то кольцо K на-

зывается неразложимым.

(где m , n отличны от 0 и ±1) имеют ненулевое пересечение

– это множество mn .

Для колец, как и для групп, определяется понятие внешней прямой суммы.

Определение. Внешней прямой суммой колец K1 и K2

называется множество K = K1 ×K2 с операциями: (a,b) +(c, d) = (a +c,b +d) ,

(a,b) (c, d) = (ac,bd) ,

где операции над первыми компонентами производятся в кольце K1 , а над вторыми - в кольце K2 .

3.5. Подполя, расширения полей

Понятие поля ранее уже вводилось (см. часть 2 настоящего пособия). Напомним его.

Определение. Полем называется коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Примерами числовых полей могут служить поля , ,

стое число и f (x) - неприводимый над полем P многочлен.

Пусть P - поле и F - некоторое его подмножество. Тогда в F определены те же операции - сложение и умножение, что и в поле P .

Определение. Подмножество F поля P называется подполем поля P , если оно само является полем относительно операций, определенных в P . При этом говорят, что поле P является расширением поля F .

Пример 69. В любом поле P есть хотя бы одно подпо-

него самого, так как в группе ( p , +) нет собственных

подгрупп.

Для подполей справедлива следующая теорема.

Теорема 39. Если F - подполе поля P , то единица поля F совпадает с единицей поля P и для элемента a ≠ 0 из F обратный элемент в F и в P - один и тот же.

Доказательство. Утверждение следует непосредственно из теоремы 15 п. 1.9 § 1, поскольку группа F* = (F \{0}, )

является подгруппой группы P* = (P \{0}, ) . ■

Получим критерий того, чтобы подмножество поля было его подполем.

Теорема 40 (критерий быть подполем). Подмноже-

ство F поля P , содержащее хотя бы один ненулевой элемент, является подполем тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) x, y F x − y F , xy F ;

(см. п.3.1) условие 1) равносильно тому, что F - подкольцо поля P . В силу коммутативности поля P кольцо F будет коммутативным. Тогда выполнение дополнительно условия 2) равносильно тому, что F - поле, т.е. тому, что F - подполе поля P (обратные элементы к элементу x F совпадают в силу теоремы 39). ■

Следствие. Пересечение любого семейства подполей поля P является его подполем.

Для конечного подмножества F поля P критерий, указанный в теореме 40, можно существенно упростить.

Теорема 41. Конечное подмножество F поля P , содержащее хотя бы один ненулевой элемент, является подполем тогда и только тогда, когда выполнено условие:

x, y F x + y F , xy F .

3.6. Простые поля

Определение. Поле P называют простым, если в нем нет подполей, кроме самого поля P .

Приведем примеры простых полей.

Пример 73. Поле p ={0,1,..., p −1} классов вычетов по простому модулю p – простое в силу примера 72.

- простое.

Обратим еще внимание на то, что изоморфизм полей определяется точно так же, как изоморфизм колец.

Опишем все простые поля.

Теорема 42. Все простые поля разделяются на два типа: 1) все бесконечные простые поля изоморфны полю рациональных чисел;

2) все конечные простые поля изоморфны полю классов вычетов p по простому модулю p .

3.7. Классификация расширений поля

Проведем классификацию расширений поля. Введем понятие простого расширения.

Пусть F - подполе поля P , пусть z - элемент поля P . Добавим элемент z в поле F так, чтобы вновь получить поле. Тогда в F должны попасть все элементы, которые получаются из z и элементов поля F при помощи сложения, умножения, вычитания и деления. А именно, вместе с эле-

ментом z в поле F должны попасть все элементы вида z2 ,

Множество F(z) является полем (по построению). Поле F(z) есть наименьшее расширение поля F , которое со-

держит элемент z , т.е. если K - некоторое другое расширение поля F и z K , то F(z) K .

Определение. Поле F(z) называется простым расши-

рением поля F .

Другими словами, расширение F(z) - простое, если оно получено от присоединения одного элемента к полю F .