Учебное пособие 1092
.pdfЛабораторная работа № 1.2 ИЗМЕРЕНИЕ УПРУГОГО МОДУЛЯ СДВИГА
СТАЛЬНОЙ ПРОВОЛОКИ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы: исследовать деформацию кручения цилиндрического тела и определить модуль сдвига образца.
Принадлежности: крутильный маятник, измеритель периода крутильных колебаний системы, набор металлических дисков с известными моментами инерции, стальная проволока, электромагнит.
Теоретическое введение
1.Нормальное и касательное напряжения. Единицы измерения напряжения.
2.Закон Гука для деформации растяжения, сдвига и
кручения.
3.Физический смысл модулей упругости.
4.Коэффициент Пуассона.
9
Установка и методика измерений
Динамическое уравнение свободных колебаний крутильного маятника:
I |
d2 |
M , |
|
(1) |
||
dt2 |
|
|||||
|
|
d2 |
|
|||
где I – момент инерции колеблющейся системы, |
– угловое |
|||||
dt |
2 |
|||||
|
|
|
|
|||
ускорение, М – момент упругих касательных сил.
Момент упругих сил определяется через модуль упругости, параметры упругого элемента и угол закручивания:
|
|
|
G R4 |
|
|||
|
M |
|
|
. |
(2) |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
2L |
|
||
С учетом (2) уравнение (1) запишется в виде: |
|
||||||
|
d2 |
|
G R4 |
0. |
|
||
|
|
|
|
||||
|
dt2 |
|
2LI |
|
|||
Из сопоставления полученного уравнения со стандартным уравнением гармонических колебаний следует
10
|
2 |
|
GR 4 |
|
2 |
|
|
2IL |
|
|
||||
|
|
|
и T |
|
|
2 |
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
GR4 |
|||||||||
отсюда |
|
|
2IL |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
8 I L |
|
|
128 I L |
|
|
|
|||||
|
|
G |
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
T 2 R4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
T 2d 4 |
|
|
|
|
||||
Чтобы исключить неизвестный собственный момент инерции маятника используются два дополнительных тела с известными моментами инерции. В этом случае имеем систему двух уравнений:
|
|
|
2 |
4 |
128 I0 |
I1 L; |
|||||
|
|
GT1 d |
|
||||||||
|
|
|
|
|
128 I |
|
I |
|
L. |
||
|
|
GT2d |
4 |
0 |
2 |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Решая систему, получим: |
|
|
|
|
|
||||||
|
G |
128 L(I1 I2 ) |
. |
|
(3) |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
d4 (T2 |
T2 ) |
|
|
|
|
|||
|
L1 L2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Здесь L |
, где L1 |
и L2 – длины верхней и нижней |
|||||||||
|
|||||||||||
|
L1 L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
проволочных подвесок маятника, I1 - момент инерции одного из инерционных дисков, I2 – суммарный момент инерции двух дисков, d – диаметр проволоки.
Порядок выполнения работы
1.Убедиться, что крутильный маятник в исходном состоянии имеет вертикальное положение.
2.Установить один из инерционный дисков в рамку маятника. Измерить время N=10 колебаний. Результаты измерений занести в табл. 2. По данным этих измерений найти
среднее значение периода колебаний T1 .
3. Установить второй инерционный диск в рамку маятника, не снимая первый. Измерить время N=10 колебаний. Результаты измерений занести в табл. 3. По данным этих
измерений найти среднее значение периода колебаний T2 .
4. По формуле (3) найти модуль сдвига стальной проволоки.
11
Результаты измерений и вычислений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
d,м |
I д1,кг.м2 |
|
|
|
|
|
|
I д2,кг.м2 |
|
L1,м |
|
|
L2,м |
|
L,м |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
№ |
N |
|
|
t, с |
|
|
|
t t |
i |
|
, с |
|
|
|
t t |
|
|
, с |
|
|
|
|
T1, c |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
№ |
N |
|
|
|
t,с |
|
|
|
|
|
|
ti |
|
, с |
|
|
|
|
|
ti |
|
2 , с2 |
|
|
T2, c |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление модуля сдвига |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
G |
128 |
L |
(I1 |
I2) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d4(T |
2 T 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Расчет систематической погрешности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
δL, м |
|
|
|
|
Δd, м |
|
|
|
|
δI,кг м2 |
|
|
|
|
δT, с |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Систематическая погрешность модуля сдвига |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
L 2 |
|
4 d 2 |
|
|
|
2 I |
|
2 |
|
|
4 T |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
G G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
|
|
|
I |
|
I |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
L |
d |
|
|
2 |
|
|
T T |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 1 |
|
|
|
|
|||
G
12
Расчет случайной погрешности
Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического
для t:
|
|
|
|
|
ti )2 |
|
|
|
|
|
S |
|
|
(t |
; |
St |
St |
|
|||
t |
n(n 1) |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического
для T:
S |
|
|
St |
; |
S |
|
S |
|
|
|
|||||||
|
T |
|
N |
|
T1 |
|
T2 |
|
Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического
для G:
|
|
|
|
|
|
2S |
2 |
|
2S |
T2 |
2 |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S |
G |
G |
|
T1 |
|
|
|
|
; |
G |
|||||
T |
T |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Доверительная вероятность: α = |
|
|
|
Коэффициент Стьюдента: |
t ,n |
|
|
Случайная погрешность: |
G t ,n SG ; |
G |
|
Суммарная погрешность
Абсолютная погрешность
G ( G)2 ( G)2 ; |
G |
|||||
|
Относительная погрешность |
|||||
|
E |
|
|
G |
100%; |
Е = |
|
|
|
|
|||
|
|
G |
|
|||
|
|
|
Окончательный результат |
|||
G = |
|
|
|
|
α = |
E = |
13
Лабораторная работа № 1.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ
ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА
Цель работы: изучение законов динамики вращательного движения и экспериментальное определение момента инерции тел вращения с помощью трифилярного подвеса.
Принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, образцы для измерений, линейка.
Теоретическое введение
1.Момент инерции материальной точки и твердого тела.
2.Физический смысл момента инерции.
3.Моменты инерции простейших тел относительно оси, проходящей через центр масс.
Обруч |
Диск |
Шар |
Стержень |
|
|
|
|
4.Теорема Штейнера.
5.Кинетическая энергия при вращательном движении тела относительно неподвижной оси.
14
Установка и методика измерений
r
h2 |
h1 |
|
|
|
|
h |
02 |
|
|
||
|
|
R 01 |
Закон сохранения энергии для трифилярного подвеса
I 2 m0gh,
2
где I – момент инерции платформы, m0 – масса платформы.
Уравнение гармонических колебаний подвеса
|
2 |
|
||
0 |
sin |
|
t . |
|
T |
||||
|
|
|
||
Угловая скорость вращения платформы
|
d |
|
2 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
t . |
|
dt |
T |
|
T |
||||
|
|
|
|
|
|||
Максимальная угловая скорость
max 2 0 ,
T
где 0 - максимальный угол кручения платформы.
15
Связь между высотой подъема платформы и углом закручивания
h Rr 0 ,
2
где R – радиус платформы, r – радиус верхнего диска, – длина нитей подвеса.
Расчетная формула для момента инерции подвеса
mgRr 2 I 4 2 T .
Порядок выполнения работы
1.Измерить внешний и внутренний диаметры диска. Значения массы диска m, его внешний и внутренний радиусы, а также параметры трифилярного подвеса занести в табл. 1.
2.Привести пустую платформу в состояние крутильных колебаний, измерить время 10 полных колебаний, рассчитать период колебаний. Опыт проделать 3 раза и полученные результаты занести в табл. 2.
3.Аналогичные измерения и расчёты сделать для нагруженной платформы. Результаты занести в табл. 2.
4.Вычислить моменты инерции I0 и I1 ненагруженной и нагруженной платформы. Определить момент инерции измеряемого диска по формуле I=I1-I0. Рассчитать погрешности эксперимента и записать окончательный результат.
Таблицы результатов измерений и вычислений
Таблица 1
g, м/с2 m0, кг m, кг , м r, м R, м R1, м R2, м
16
Таблица 2
Номер опыта
1
2
3
Ненагруженная платформа |
Нагруженная платформа |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t0, |
n0 |
|
T0, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
2 |
t1, |
n1 |
T1, |
|
|
|
|
, |
|
Ti |
|
|
|
2 |
|||
Ti T0 |
|
Ti T |
|
Ti T1 |
|
T1 |
|
|||||||||||||||||||||||
с |
|
|
|
с |
|
c |
|
c2 |
|
с |
|
|
|
c |
|
c |
|
c2 |
|
|
||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
T0 |
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Расчет моментов инерции платформы и диска
Ненагруженная платформа
I0 |
|
m0gRr |
T0 |
2 |
, |
I |
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
4 2l |
|
|
|
|
||
Нагруженная платформа
I1 (m0 m2)gRr T12 , I1
4 l
Момент инерции диска |
|
I I1 I0 , |
I |
Расчет теоретического значения момента инерции диска
IT |
|
1 |
m(R12 R22 ) , |
IT |
|
||||
|
2 |
|
|
|
17
Расчет систематической погрешности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|||
δm0 , кг |
δR, м |
|
|
δr, м |
|
δl, м |
|
δg, м/с2 |
|
δt, с |
|
|
δm, кг |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Систематическая погрешность измерения момента инерции |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I1 I1 |
|
|
m2 |
|
R2 |
|
4 t2 |
|
2 |
g2 |
|
r2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
m2 |
R2 |
T2 |
2 |
g2 |
|
r2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
I1
Расчет случайной погрешности
Среднеквадратичная погрешность среднего арифметического значения Т:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T )2 |
|
||
|
|
|
|
ST |
(T |
ST |
|||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
. |
|||||
n(n 1) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доверительная вероятность |
α = |
|
|||||||||||
Коэффициент Стьюдента |
t ,n |
|
|||||||||||
Случайная погрешность при измерении Т: |
|||||||||||||
T t ,n ST . |
|
|
|
T |
|||||||||
Случайная погрешность при измерении I: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
I I |
(2 T/T). |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Суммарная погрешность измерений |
||||||||||
Абсолютная погрешность |
|
|
|
||||||||||
I |
I2 I2 |
. |
|
|
I |
||||||||
Относительная погрешность |
|
|
|
||||||||||
E |
I |
100% |
|
|
E |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
I |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Окончательный результат |
||||||||
I= |
α = |
|
|
E= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|