Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 773

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

575.71 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

г) Искомую вероятность находим по формуле

P(X 1, Y 2) P(2 X 4, 0 Y 2)

F(4, 2) F(2, 2) F(4, 0) F(2, 0)0,7131 0,4761 0 0 0,237.

Этот же результат можно получить непосредственным подсчетом вероятностей

P(X 1, Y 2) p31 p41 p32 p42

0,0652 0,0087 0,1370 0,0261 0,237.

д) Составляющие X и Y зависимы, так как, например,

p22 P X 1, Y 1 0,2087

P X 1 P Y 1 0,4565 0,4696 0,2144 .

е) Вычислим условные вероятности случайной величины X при условии Y 1 по формуле (11.4)

	P X 0/Y 1			P X 0, Y 1				0,0978		0,2083,
				P Y 1
						0,4696
	P X 1/Y 1		P X 1, Y 1			0,2087				0,4444,
						0,4696
				P Y 1
	P X 2/Y 1		P X 2, Y 1				0,137			0,2917,
						0,4696
				P Y 1
	P X 3/Y 1		P X 3, Y 1					0,0261	0,0556.
						0,4696
				P Y 1
Записываем искомый условный закон распределения X
											Таблица 10

	X	0			1		2				3
	P(X xi /Y 1)	0,2083			0,4444		0,2917				0,0556

Контроль: P(X xi /Y 1) 1.

Вычислим условные вероятности случайной величины Y при условии X 2 по формуле (11.5)

	P Y 0/ X 2			P Y 0, X 2							0,0652		0,2221,
				P X 2
						0,2935
	P Y 1/ X 2		P Y 1, X 2				0,137						0,4668,

				P X 2		0,2935
	P Y 2/ X 2		P Y 2, X 2							0,0783		0,2668,

				P X 2		0,2935
	P Y 3/ X 2		P Y 3, X 2					0,013					0,0443.

				P X 2		0,2935
Записываем искомый условный закон распределения Y
														Таблица 11

	Y	0			1				2					3
	P(Y yj / X 2)	0,2221			0,4668				0,2668					0,0443

Контроль: P(Y yj / X 2) 1.

Пример 2. Плотность распределения вероятностей дву-

мерного случайного вектора X, Y имеет вид
		x	y
csin				при 0 x a,	0 y b
csin				при 0 x a,	0 y b
pXY (x, y)		2a	2b
	в остальных случаях
0	в остальных случаях
Требуется:
а) найти значение постоянной с;
б) найти вероятность попадания случайной точки X, Y
в треугольник с	вершинами			A(a 4, 3b 4),	B(a 2, b 4) и
C(3a 4, b 2) ;

в) найти функцию распределения системы X,

Y ;

г) найти функции распределения составляющих X и Y ;

д) найти плотности распределения вероятностей состав-

ляющих X и Y ;

е) установить, зависимы или независимы составляющие

X и Y ;

ж) найти условные плотности распределения вероятно-

стей составляющих X и Y .

Решение. а) постоянную с находим из условия норми-

ровки

dx pXY (x, y)dy dx csin

2bc a

c dx

cos

sin

cos

2bc 2a

cos

sin

4abc

1 1 1 c

8ab

б) Определим уравнения сторон треугольника:

AB:

x a/4

y 3b/4

AB:

x a/4

y 3b/4

a/2 a/4

a/4

b/2

b/4 3b/4

или

AB: y

AC :

x a/4

y 3b/4

AC :

x a/4

y 3b/4

3a/4 a/4

b/4

b/2 3b/4

a/2

или

AC : y

BC:

x a/2

y b/4

BC :

x a/2

y b/4

3a/4 a/2

b/2 b/4

a/4

b/4

или

BC:

Вычислим вероятность попадания случайной точки X, Y в

треугольник ABC , учитывая, что треугольник полностью ле-

жит в области

(x,

0 x a,

0 y b

P (X, Y) ABC

2 a/2

sin

8ab

2a 2b

a/4

3a/4

sin

a/2

2 a/2

cos

8ab

a/4

3a/4

cos

a/2

dx cos

cos

a/4

3a/4

dx cos

cos

a/2

sin

a/4

	4a				x			7			a				x						3a/4
																					3a/4

			sin									sin
			sin									sin						8
					4a 16											a		8
																					a/2
1		9				3								5					9					3
	4sin			2sin					6 3sin								4sin					sin
	4sin	16		2sin			8		6 3sin						8		4sin			8		sin
4		16					8								8					8			8
					3
							1 cos						0,44 .
							1 cos						0,44 .
					2						4
																	x	y
в)	По определению									FXY (x, y)								pXY (s, t)dsdt .							При

этом необходимо рассматривать различные области.

x y

1)	Если x 0	то FXY (x, y)		0dsdt 0.

		x	y
2)	Если y 0, то FXY (x, y)			0dsdt 0.

3) Если 0 x a

и 0 y b, то

x y

sin

dsdt

(x,

8ab

0 0

2b x

dscos

8ab

cos

s x

sin

2a 2b

4) Если 0 x a

и y b, то

F (x, y)

x b

sin

dsdt

8ab

0 0

2b x

dscos

8ab

	x		s
		cos
4a		cos	2a
4a			2a
	0

1 s

2 cos 2a

5)Если x a

cos

sin

cos

s x

sin

cos

sin

2a 0

2sin

и 0 y b, то

(x,

a y

sin

dsdt

8ab

0 0

2b a

dscos

8ab

cos

2a 2b

s a

sin

cos

1 sin

2a 0

2sin

6) Если x a и y b, то

a b

sin

dsdt

(x,

8ab

0 0

2 2b a

dscos

8ab

cos

sin

cos

s a

1 1 1.

cos

sin

2a 0

Таким образом, получаем

x 0 или

y 0

sin

0 x a и 0 y b

FXY (x, y)

0 x a и y b

2sin

x a и 0 y b

2sin

x a и y b

г) Согласно свойству функции распределения

FX (x)

FXY (x,

). В данном примере 0 y b, поэтому, исходя из

результатов предыдущего пункта для y b, получим

1) при x 0

FX (x) 0;

2) при 0 x a

(x)

2sin

;

3) при x a

FX (x) 1.

Таким образом, функция распределения компоненты X


0,		x 0
	1			x


FX (x)		1 2sin			,	0 x a
FX (x)	2	1 2sin	4		,	0 x a
	2		4	2a
		x a
1,		x a

Аналогично, FY (y) FXY ( , y). В данном примере 0 x a , поэтому, исходя из результатов предыдущего пункта для x a, получим

1) при y 0 FY (y) 0;

2) при 0 y b

F (y)

;

2sin

3) при y b

FY (y) 1.

Таким образом, функция распределения компоненты Y

y 0

FY (y)

2sin

, 0 y b

y b

д) Плотность распределения вероятностей составляющей

X при 0 x a

pX (x)

pXY (x,

y)dy

sin

8ab

cos

2sin

8ab

При x 0 и x a

pX (x) pXY (x, y)dy 0dy 0.

Другим способом получаем такой же результат

			2			x		0 x a
pX (x) FX				cos			,
		4a
	(x)				4 2a
			x 0,		a
	0,

Аналогично, плотность распределения вероятностей составляющей Y при 0 y b

pY (y)

2 2a

8ab

При y 0 и y b

pXY (x, y)dx			2
		8ab

x	y		a

cos

2a	2b		0

sin

2sin

pX (x) pXY (x, y)dy 0dx 0.

Другим способом получаем такой же результат

0 y b

cos

pY (y) FY (y)

0, y 0, b

е) В области 0 x a

и 0 y b

pXY (x, y)

sin

8ab

sin

(x) p (y)

поэтому составляющие X и Y зависимы.

ж) Условная плотность распределения вероятностей составляющей X при заданном значении Y y в области

(x, y) 0 x a, 0 y b

pXY (x, y)

sin

(x/ y)

p (y)

sin

Аналогично, условная плотность распределения вероятностей составляющей Y при заданном значении X x в области

(x, y)

0 x a, 0 y b

pXY (x, y)

sin

p (y/ x)

(x)

sin

11.3.Контрольные вопросы и задания

1.Как определяется двумерная случайная величина, как

ееможно представить геометрически?

2.Какая двумерная случайная величина называется дискретной?

3.Что такое закон распределения дискретной двумерной случайной величины, как он задается, какому условию должна удовлетворять сумма вероятностей?.

4.Какая двумерная случайная величина называется непрерывной?

5.Что такое плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины, какими свойствами она обладает?

6.Как определяется функция распределения вероятностей двумерной случайной величины, какими свойствами она обладает?

7.Как можно определить функцию распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины из закона распределения?

8.Как можно определить функцию распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины из ее плотности распределения вероятностей?

9.Как определяются условные законы и плотности распределения составляющих двумерной случайной величины?

10.Какие случайные величины называются независимыми? Запишите условия независимости для дискретных и непрерывных случайных величин.

11.4.Задания для самостоятельной работы

1.Разберитесь в решении задач [2], №№ 408, 410, 412, 416, 421, 423.

2.Решите задачи [2], №№ 409, 411, 413, 414, 415, 417, 418, 419, 420, 422, 424, 425, 426, 427, 428, 429.

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа, типовой расчет, коллоквиум, экзамен.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. М.: Высш. шк., 1998.

2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. М.: Высш. шк., 2006

3.Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. М.: Наука, 1999.

4.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

5.Кибзун А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами / А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, А.В. Наумов. М.: Физматлит, 2002.

6.Андронов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика / А.М. Андронов, Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз. СПб.: Питер, 2004.

7.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике / Д.Т. Письменный. М.: Айрис-пресс, 2004.

8.Дубровская А.П. Теория вероятностей и элементы математической статистики / А.П. Дубровская, В.И. Минаков. Воронеж: ВПИ, 1993.

9.Глушко Е.Г. Элементы теории вероятностей и математической статистики / Е.Г. Глушко, А.П. Дубровская. Воронеж: ВГТУ, 2004.

10.Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика / В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский. М.: Высш. шк., 1991.

11.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей / В.П. Чистяков. М.: Наука, 1987.

12.Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики / Е.И. Гурский. М.: Наука, 1971.

13.Захаров В.К. Теория вероятностей / В.К. Захаров, Б.А. Севостьянов, В.П. Чистяков. М.: Наука, 1983.

14.Данко Л.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / Л.Е. Данко. А.Г. Попов. Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1980. Ч. 2.

15.Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика / Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н. и др. Под ред. А.В. Ефимова. М.: Наука, 1990.

16.Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко. М.: Айрис-пресс, 2004.

17.Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты) / В.Ф. Чудесенко. М.: Высш. шк., 2007.

18.Лапшина М.Л. Методические указания по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальностей 230201 «Информационные системы и технологии» и 200401 «Биотехнические и медицинские аппараты и системы» очной формы обучения. Ч. 1. / М.Л. Лапшина, Е.И. Максимова, М.В. Юрьева. Воронеж: ВГТУ, 2005. (№ 3532005)

19.Лапшина М.Л. Методические указания по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальностей 230201 «Информационные системы и технологии» и 200401 «Биотехнические и медицинские аппараты и системы» очной формы обучения. Ч. 2. / М.Л. Лапшина, Е.И. Максимова, М.В. Юрьева. Воронеж: ВГТУ, 2005. (№ 3542005)

20.Дежин В.В. Методические указания: Использование математического моделирования при решении прикладных задач для организации самостоятельной работы по курсу «Математика» для студентов специальности 230201 «Информационные системы и технологии» очной формы обучения. Ч. 1 / В.В. Дежин, М.Л. Лапшина. Воронеж: ВГТУ, 2011. (№ 2662011)

21.Дежин В.В. Методические указания: Использование математического моделирования при решении прикладных задач для организации самостоятельной работы по курсу «Математика» для студентов специальности 230201 «Информационные системы и технологии» очной формы обучения. Ч. 2 / В.В. Дежин, М.Л. Лапшина. Воронеж: ВГТУ, 2011. (№ 2902011)

22.Дежин В.В. Использование математического моделирования при решении прикладных задач. Методические указания: для организации самостоятельной работы по курсу «Математика» раздела «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов специальности 230201 «Информационные системы и технологии» очной формы обучения. Ч. 3 /

В.В. Дежин, М.Л. Лапшина. Воронеж: ВГТУ, 2012. (№ 2772012)

СОДЕРЖАНИЕ

Занятие № 10. Числовые характеристики случайных величин………………………………………….........1

Занятие № 11. Законы распределения случайных векторов………………………………...………………………..27

Библиографический список……..…………..………....…49

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

для организации самостоятельной работы по курсу «Математика» раздела «Теория вероятностей и мате-

матическая статистика» для студентов специальности 230201 «Информационные системы и технологии» очной формы обучения

Часть 4

Составители:

Дежин Виктор Владимирович Лапшина Марина Леонидовна

В авторской редакции

Подписано к изданию 17.12.2012

Уч.-изд. л. 3,2

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022575.1 Кб1Учебное пособие 769.pdf
#
30.04.2022264.46 Кб2Учебное пособие 77.pdf
#
30.04.2022575.11 Кб9Учебное пособие 770.pdf
#
30.04.2022575.15 Кб2Учебное пособие 771.pdf
#
30.04.2022575.67 Кб1Учебное пособие 772.pdf
#
30.04.2022575.71 Кб2Учебное пособие 773.pdf
#
30.04.2022576.05 Кб6Учебное пособие 774.pdf
#
30.04.2022576.06 Кб1Учебное пособие 775.pdf
#
30.04.2022576.91 Кб1Учебное пособие 776.pdf
#
30.04.2022577.35 Кб4Учебное пособие 777.pdf
#
30.04.2022578.94 Кб1Учебное пособие 778.pdf