Учебное пособие 646

Контрольные вопросы

1.В чем состоит задача Коши решения ОДУ?

2.В чем состоит решение задачи Коши методом РунгеКутта и какова его геометрическая интерпретация?

39

3.Какие еще методы решения ОДУ вы знаете, в чем их сущность?

4.Что такое порядок метода и как он определяется?

5.Что такое явные и неявные методы решения ОДУ? Приведите примеры явных и неявных методов.

6.Что такое одношаговые и многошаговые методы решения ОДУ? Приведите примеры одношаговых и многошаговых методов.

7.Какие системы ОДУ называются жесткими?

8.Какие решатели используются в MATLAB?

9.Какие из решателей используются для решения жестких систем ОДУ?

10.Какие методы использует каждый из решателей?

11.Какие параметры интегрирования вы знаете?

12.Как определяются параметры интегрирования?

13.Опишите функции для решения ОДУ и их систем.

14.Из каких этапов состоит схема решения ОДУ и их систем в MATLAB?

15.Каким образом задается функция правых частей уравнений при вызове решателя?

16.Как производится визуализация решения ОДУ?

17.Как производится визуализация результата решения систем ОДУ?

18.Какие отличия вы заметили при решении ОДУ и систем ОДУ? Покажите их на примерах.

40

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ДАННЫХ

Задача интерполяции состоит в следующем: по заданной таблице чисел xi , yi , xi a, b , i 1, 2, , n , вычислить на

всем отрезке a, b значения функции f x , проходящей через заданные точки (узлы) xi , yi . Классический метод реше-

ния этой задачи основан на построении интерполяционного многочлена Лагранжа, проходящего через заданные точки (глобальная интерполяция). При этом порядок многочлена Лагранжа равен n 1. В то же время ряд примеров показывает, что даже при большом числе узлов интерполяционный многочлен Лагранжа не гарантирует хорошее приближение функции. Поэтому на практике, для того чтобы аппроксимировать функцию, вместо построения глобального интерполяционного многочлена на всем промежутке используют интерполяцию кусочными многочленами (локальная интерполяция).

Простейшим примером локальной интерполяции является линейная интерполяция. В этом случае узловые точки соединяются друг с другом отрезками прямых и считается, что искомые промежуточные точки расположены на этих отрезках. В MATLAB для линейной интерполяции используется следующая функция:

- Yi interp1 X ,Y , Xi,'linear ' – возвращает вектор Yi , содер-

жащий элементы, соответствующие элементам вектора Xi и полученные линейной интерполяцией по значениям функции в узлах, координаты которых передаются в векторах X и Y .

Приведем пример интерполяции функции cos x на отрезке 0, 10 с использованием 11 равноотстоящих узлов.

Вычисляем координаты узлов:

>> X=0:10 X =

41

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >> Y=cos(X)

Y=

1.0000 0.5403 -0.4161 -0.9900 -0.6536 0.2837

0.9602 0.7539 -0.1455 -0.9111 -0.8391

Определяем массив промежуточных точек Xi :

>> Xi=0:0.1:10;

Табулируем функцию cos x :

>> Yc=cos(Xi);

Вычисляем массив Yi , элементы которого соответствуют элементам вектора Xi и получены линейной интерполяцией:

>> Yi=interp1(X,Y,Xi);

Отмечаем на графике узлы красными кружками, заданную функцию cos x – зеленой линией и интерполирующую функцию – синей линией (рис. 8):

>> plot(X,Y,'o',Xi,Yc,Xi,Yi)

Для получения более качественной аппроксимации сле-

дует применять интерполяцию кубическими сплайнами. Такие полиномы вычисляются так, чтобы не только их значения совпадали с координатами узловых точек, но также, чтобы в узловых точках были непрерывны производные первого и второго порядков. Таким образом, кубический сплайн представляет собой многочлен третьей степени. Сплайн-интерполяция дает неплохие результаты для функций, не имеющих разрывов и резких перегибов. Особенно хорошие результаты получаются для монотонных функций. Реализуется сплайн-интерполя- ция следующей функцией:

- Yi spline X ,Y , Xi – возвращает вектор Yi , содержащий

элементы, соответствующие элементам вектора Xi и полученные интерполяцией кубическим сплайном по значениям функции в узлах, координаты которых передаются в векторах

X и Y .

Приведем пример сплайн-интерполяции функции cos x на отрезке 0, 10 с использованием 11 равноотстоящих узлов:

>>X=0:10;

>>Y=cos(X);

>>Xi=0:0.1:10;

>>Yc=cos(Xi);

Вычисляем массив Yi , элементы которого соответствуют элементам вектора Xi и получены сплайн-интерполяцией:

>> Yi=spline(X,Y,Xi);

Отмечаем на графике узлы красными кружками, заданную функцию cos x – зеленой линией и интерполирующую функцию – синей линией (рис. 9):

>> plot(X,Y,'o',Xi,Yc,Xi,Yi); grid on

Как видно из полученного рисунка заданная функция и интерполирующая функция практически совпадают, что свидетельствует об очень хорошем качестве аппроксимации кубическим сплайном.

43

Рис. 9

Задание к выполнению лабораторной работе

Провести линейную интерполяцию и интерполяцию кубическим сплайном функции f x на отрезке a, b с исполь-

зованием n равноотстоящих узлов. Результаты интерполяции и заданную функцию вывести на график.

Контрольные вопросы

1.В чем состоит задача интерполяции?

2.Что называется глобальной интерполяцией?

3.Как зависит степень интерполяционного многочлена Лагранжа от числа узлов?

4.Что называется локальной интерполяцией?

5.Какие способы локальной интерполяции вы знаете?

46

6.В чем заключается линейная интерполяция?

7.Как осуществляется линейная интерполяция в системе

MATLAB?

8.В чем заключается интерполяция кубическими сплай-

нами?

9.Как осуществляется интерполяция кубическими сплайнами в системе MATLAB?

10.Какая интерполяция лучше аппроксимирует функцию и почему?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Физматлит, 2005.

2.Ракитина В.И. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. М.: Высш. шк., 1998.

3.Плис А.И. Лабораторный практикум по высшей математике.

– М.: Высш. шк., 1994.

4.Амосов А.А. Вычислительные методы для инженеров. – М.:

Высш. шк., 1994.

5.Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

6.Иглин С.П. Математические расчеты на базе MATLAB.-

Спб.: 2005.

7.Метью Д.Г. Численные методы. Использование MATLAB.

– М.: Изд. дом «Вильямс», 2001.

8.Кетков Ю.Л. MATLAB 6.x.: программирование численных методов. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

9.Половко А.М. MATLAB для студента. - СПб.: БХВПетербург, 2005.

10.Ануфриев И.Е. MATLAB 7. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

11.Пантелеев И.Н. Численные методы с использованием MATLAB: учеб. пособие. - Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2007. - 255с.

47

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы

по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62 «Техносферная безопасность»,

профили «Защитавчрезвычайныхситуациях», «Безопасностьжизнедеятельностивтехносфере», «Защитаокружающейсреды»,

очной формы обучения

Составитель: Пантелеев Игорь Николаевич

В авторской редакции

Компьютерный набор И.Н. Пантелеева

Подписано к изданию 10.12.2013.

Уч.-изд. л. 2,7

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

48