Учебное пособие 605
.pdfВАРИАНТ 4
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
1. |
xy′ |
+ y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
xdx + ydy + |
|
ydx − xdy |
= 0. |
|
|
||||||||||||||||||||
ln |
|
|
−1 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
′′ |
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. y |
′′ |
+ |
2 y |
′ |
+ y = 6e |
−x |
. |
|
|
||||||||
|
3. y (e |
|
1) = −y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. y |
+ y = cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
II. Решить задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. |
x |
2 |
y |
′ |
= −y; |
|
|
|
y(1) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
= e |
−x |
; |
|
|
y(0) = 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7. (1 − x)( y + y ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. y |
′′′ |
= x +1 |
−sin 2x; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
8. (x2 −1) y′− xy = (x3 − x) y3 ; |
|
|
y(0) = −8 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y( |
|
|
2) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
8 , |
|
|
|
= |
2 . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|
y (0) |
|
|
||||||||||||
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
2 |
|
|
|
|
dx |
= x +3y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
y(0) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10. y (1 + y) = 5( y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (0)= 3, |
|
y(0) =1. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
11. dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
= −x +5y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Задача
Скорость распада радия пропорциональна наличному его количеству. В течении года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?
ВАРИАНТ 5
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
1. y′ = |
9x2 + y2 + xy |
. |
|
|
|
|
2. y′+3y =14e4 x y3 . |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. xy′′− y′ = 0. |
|
|
4. y′′−12 y′+ 40 y = 2e6 x . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5. sin y |
+ y sin x + |
|
dx + x cos y |
−cos x + |
|
|
dy = 0. |
||||||
x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||
II. Решить задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
7. y |
′ |
+ y tg x |
=sec x; y(0) = 0. |
||
6. yy′ = 2 (x −1); |
y(0) = 3. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
21
8. y′′ = 2sin x cos2 x; |
|
|
|
9. y |
′′ |
= |
y′ |
′ |
= 2. |
|||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y(0) = − |
, |
y′(0) = − |
. |
|
|
y ; |
y(0) =1, y (0) |
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. y′′+9 y = |
2 |
|
; |
|
|
|
dx |
= 3x − 2 y, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sin 3x |
|
|
|
x (0)=1, |
y(0) = 0. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
11. |
dt |
|
|
|
|
||||||||
y( |
) = 0, |
′ |
π |
) |
=1. |
|
dy |
= 4x + 7 y, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
y ( |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
III.Задача
Вбаке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак вливается вода со скоростью 5л/мин, и смесь вытекает с такой же скоростью. Сколько соли останется в баке через час? (Концентрация принимается равномерной).
ВАРИАНТ 6
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
|
|
1. xy′ln x =5x − y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. x2 y′− 2xy − y3 = 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3. (2x − y +1)dx +(2 y − x −1)dy = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
x( y′′+1) + y′ = 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
′′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
− 2 y |
+ y = x |
2 +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
II. Решить задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. ln x sin3 ydx + x cos ydy = 0 ; |
|
|
|
7. |
y |
′′ |
= − |
1 |
|
|
; |
|
|
y(0) = |
1 |
|
, |
′ |
= |
2. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
2 |
|
y (0) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y(1) = 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
y |
′′ |
+ |
2 y |
′ |
= 6x |
2 |
+ 2x +1; |
|
|
|
|
|
|
9. |
y |
′′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y(0) = 0, |
′ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
|
x |
y (0) = 0. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
y(0) = 2, |
y′(0) = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= 2x −5y, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10. x |
2 |
y′ = y(x + y); |
y(1) = 2. |
|
|
|
|
dt |
x(π) = e |
−2π |
, y(π) = |
|
e |
−2π |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
= 5x −6 y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Задача
Найти линию, у которой площадь трапеции, образованной осями координат, ординатой произвольной ее точки и касательной в этой точке, равна половине квадрата абсциссы.
22
ВАРИАНТ 7
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
y′ |
= 5x |
3 |
y |
2 |
. |
2. xy′′ = y′ln |
y′ |
|
|
|
|
|
. |
|||||
y |
|
|
|||||||
|
|
x |
3.xy2 dy = (x3 + y3 )dx. 4. (3x2 − 2x − y)dx + (2 y − x −3y2 )dy = 0.
5.y′′+ 4 y = ctg2x.
II.Решить задачи Коши:
6. (x +1) y′+ y = x3 + x2 ; y(0) = 0 . |
7. x2 y′+ xy + |
y = 0; y(1) = 4. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. y′′ = x +sin x; |
′ |
2 |
|
|
′′ |
y(0) = 2, |
′ |
= 2. |
|
y(0) = −3, |
′ |
9. 2( y ) |
|
= ( y −1) y ; |
y (0) |
||||
y (0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. y′′−2 y′+5y = 5x2 +6x −12; |
dx |
|
= x −4 y, |
|
|
|
|||
|
|
|
x(0) =1, |
y(0) =1. |
|||||
|
|
|
|
||||||
y(0) = 0, |
′ |
11. dt |
|
|
|||||
dy |
|
|
|
|
|
||||
y (0) = 2. |
|
= x −3y, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
III. Задача
Пользуясь прямоугольной системой координат, найти форму зеркала, отражающего параллельно данному направлению все лучи, выходящие из одной точки.
ВАРИАНТ 8
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
1. (xy + y2 )dx −2(x2 + xy)dy = 0. |
|
2. |
y′cos x − y sin x = cos2 x. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
ydy |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
(x +1) y |
4 |
|
|
|||
3. |
|
|
|
|
|
|
− x2 dx |
− |
|
|
= 0. |
|
|
|
4. y′− |
|
= |
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
− y |
|
|
|
|
x |
− y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. xy′′− y′ = x2ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
II. Решить задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. |
|
|
|
dx |
+ |
|
dy |
= 0; |
|
y(2) =1. |
7. |
yy |
′′ |
′ |
2 |
= y |
2 |
; |
|
|
′ |
=1. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x( y −1) |
|
|
|
y(x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
−( y ) |
|
|
y(0) = y (0) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. |
|
y |
′′ |
=arctg x; y(0) = 0, |
|
′ |
|
|
|
9. y′′−2 y′+5y = 5x2 +6x −12; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
y (0) = 0. |
|
|
|
y(0) = 0, |
|
|
′ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = 2. |
|
23
|
|
π |
|
|
|
dx |
|
|
|
10. y′′+ y =ctg x; y |
|
=1, |
|
|
|
|
= −x + 2 y, |
||
|
dt |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
x(0) = 0, y(0) =1. |
||
π |
|
|
|
|
11. |
|
|
||
|
|
|
dy |
|
|
||||
y′ |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
= −2x −5y, |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
III. Задача
За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. За сколько времени останется 1% от его первоначального количества, если известно, что скорость распада пропорциональна массе радиоактивного вещества.
ВАРИАНТ 9
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
1. ex−y dx − |
1 |
dy = 0. |
′ |
2 |
+ 4) |
− xy = |
x |
2 |
+ 4. |
|
|||||||||
|
x |
2. y (x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. x3 y′′+ x2 y′ =1. |
4. y′′−4 y′+5y = (24sin x +8cos x)e−2 x . |
5.(sin y +(1− y)cos x)dx +((1 + x)cos y −sin x)dy =0.
II.Решить задачи Коши:
6. y′= 4 + |
y |
|
y 2 |
y(1) = 2. |
|
|
7. y′− y = e |
x |
y |
2 |
; y(0) = 0. |
|||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. y′′ = sin2 3x; y(0) = − |
1 |
, |
9. y |
′′ |
|
|
|
|
′ |
= 2. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
′ |
= 0. |
16 |
|
|
|
|
= 2 − y; y(0) = 2, y (0) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
e5x |
|
|
|
|
dx |
= 3x −4 y, |
|
|
|
|
|
||||
10. y′′−5y′+ 6 y = |
|
|
; y(0) = 0, |
|
|
dt |
|
|
|
|
x(0) = 4, |
y(0) =1. |
||||||||||
1 + ex |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
′ |
= 2. |
|
|
|
dy |
= x −2 y, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
III. Задача
Найти кривую на плоскости xOy , у которой отрезок касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам
ВАРИАНТ 10
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
1. sin2 x |
dy |
−2 y2 |
= 0. |
|
y′− |
y |
|
x |
||
2. |
= xe |
|
y2 . |
|||||||
2 |
||||||||||
dx |
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
24
3. ( y + xy )dx = xdy. |
′′ |
′ |
4. y x ln x = 2 y . |
5.( y +ex sin y)dx +(x +ex cos y)dy = 0.
II.Решить задачи Коши:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
y |
′′′ |
= sin x; |
y(0) =1, |
|
′ |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y (0) |
|
7. y′+ y tg x =sec2 x; y(0) = 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
= 0. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
y′′+ |
|
|
2 |
|
(y′)2 |
= 0; |
|
y(0) = 0, |
9. |
y′′+3y′ = (40x +58)e2 x ; |
y(0) = 0, |
||||||||
1 |
− y |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= 2. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
10. y′′+8y′+16 y = |
|
x2e−4 x |
|
|
dx |
|
= 3x −2 y, |
|
|
||||||||||
|
|
; |
|
|
dt |
|
x(0) = 2, |
y(0) = 0. |
||||||||||||
|
|
x −3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|||||
|
|
|
y(0) =1, |
′ |
= 2. |
|
dy |
|
= 4 y − x, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
III. Задача
Пуля входит в доску толщиной 10 см со скоростью 200 м/с, а вылетает из доски со скоростью 80 м/с. Считая, что сила сопротивления движению пули в доске пропорциональна квадрату скорости, найти время движения пули через доску.
ВАРИАНТ 11
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
|
|
1. y′ |
+ |
2 y |
= |
e−x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. y′−7 y =8e |
3x |
y |
2 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. (x |
2 |
+sin y)dx +(1 + x cos y)dy = 0. |
|
|
|
|
|
|
4. |
′′ |
|
|
′ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y x ln x = y . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5. y′′+ 2 y′+37 y = 37x2 −33x +74. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
II. Решить задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. xy′ = y(3 +ln y −ln x); |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y(1) = |
|
. |
|
|
|
7. |
|
ln x; |
y(1) = 3. |
|
||||||||||||||||||||
e |
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
8. y′′′ = |
|
1 |
; |
y(1) = |
|
1 |
, |
|
|
|
9. y |
′′ |
|
|
1 |
|
y(0) |
|
|
|
′ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
4 |
|
|
|
|
= |
|
|
3 ; |
=1, |
|
= 0. |
|||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y (0) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y (1) |
= y (1) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y′′− y = e2 x cos ex ; |
|
|
|
|
|
|
dx |
= x −2 y, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10. |
|
|
y(0) =1, |
|
|
|
|
|
(0)= 2, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y(0) = 0. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y (0) = 2. |
|
|
|
|
|
|
= 2x + y, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
III. Задача
Футбольный мяч весом 0,4 кг брошен вверх со скоростью 20 м/с. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 при скорости 1 м/с. Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема.
ВАРИАНТ 12
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
1. y′+3y =14e4 x |
y4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. (x + 2 y)dx + xdy = 0. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3. |
xy′′− y′ = 2x2ex . |
|
|
|
|
|
|
4. (3x2 y +sin x)dx + (x3 −cos y)dy = 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. y |
′′ |
+ 4 y |
′ |
+ 4 y = |
(x2 +1)e−2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+1 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
II. Решить задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
7. cos x cos ydx −sin x sin ydy = 0; |
|||||||||||
6. xy′+ y + xe−x2 |
= 0; |
y(1) = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
y |
=0. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8. |
y′′′ = cos 4x; y(0) = 2, |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
′ |
|
|
|
π |
|
′ |
||||||||
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
2 |
; |
y(1) = |
, |
||||||
|
′ |
|
, |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
y tgy = 2( y ) |
|
4 |
y (1) = 2. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y (0) = |
16 |
y (0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y′′+10 y′+34 y = −9e5 x ; |
|
|
|
dx |
|
= 3x − y, |
|
|
|
|
||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
x (0)= 5, |
y(0) =8. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y(0) = 0, |
|
′ |
= 6. |
|
|
|
|
|
|
11. dt |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4x − y, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Задача
Найти кривые, для которых треугольник, образованный осью Oy , каса-
тельной к кривой и радиусом – вектором точки касания, является равнобедренным.
ВАРИАНТ 13
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
1. y′ = |
xy − y2 |
2. y′− |
y |
= 3x y. |
||||||||
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
x2 |
x |
||||||||||
3. y′+ |
6xy |
|
1 |
. |
|
|
2 |
|
||||
|
= |
|
4. y′′+ y = |
|
. |
|||||||
x2 +1 |
(x2 +1)4 |
|||||||||||
sin3 x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
5.(x +sin y)dx +(x cos y +sin y)dy = 0.
II.Решить задачи Коши:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
y′ |
1 |
; y( |
π |
π |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|||||||
|
= |
|
2 ) = |
4 . |
7. |
y′′ = |
|
; y(0) =1, y′(0) = |
|
. |
|||||||||||
sin x |
cos y |
||||||||||||||||||||
cos2 x |
5 |
||||||||||||||||||||
8. y |
′′ |
|
|
′ 2 |
; |
|
′ |
|
′′ |
2 |
|
|
|
′ |
y(0) =1, |
′ |
|||||
|
=1 −( y ) |
y(0) = y (0) = 0. |
9. y (x |
|
+1) = 2xy ; |
y (0) =1. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
dx |
|
= 2 y −3x, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (0)= 0, |
|
|
|
|||||||
y′′+8y′+16 y =16x3 + 24x2 −10x +8; |
|
|
|
|
|
|
y(0) =1. |
||||||||||||||
11. |
dt |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
y(0) =1, |
′ |
= 3. |
|
dy |
|
= y −2x, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Задача
Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды пропорционального скорости лодки. Начальная скорость лодки 1.5 м/с ; через 4 с ее скорость 1 м/с. Когда скорость лодки уменьшится до 1 см/с? Какой путь пройдет лодка до остановки?
ВАРИАНТ 14
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
1. y′− |
y |
−e2 x = |
0. |
2. (1 − x2 ) y′+ xy = y5 . |
||||||||||
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. y |
′′− |
|
′ |
|
= |
sin |
3 |
x. |
4. y |
′′ |
+6 y |
′ |
+13y = −75sin 2x. |
|
|
2 y ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
5.(3x2 +6xy2 )dx +(6x2 y + 4 y3 )dy = 0.
II.Решить задачи Коши:
6. |
y |
2 |
+ x |
2 |
y |
′ |
= 0; |
|
y(−1) =1. |
7. |
|
|
|
′ 4 |
+ 2 yy |
′′ |
|
|
|
′ |
=1. |
|||||||||
|
|
|
|
( y ) |
|
= 0; y(0) = y (0) |
||||||||||||||||||||||||
8. xy |
′ |
− y = x cos |
2 |
y |
|
y(3) = 0. |
9. |
y |
′′ |
|
|
|
tg x |
|
|
|
1 |
|
′ |
= 0. |
||||||||||
|
x |
; |
= cos2 x |
; |
y(0) = 2 , |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y (0) |
||||||||||||||||||||||||||
10. |
y′′+ y = |
|
|
|
1 |
|
|
|
; |
y(0) = 2, |
|
dx |
= y, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
x(0) = 3, |
y(0) = −1. |
||||||||||||||||
tg |
2 |
x |
+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= 6x − y, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y (0) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Задача
Найти кривые, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, равную 23 абсциссы точки касания.
27
ВАРИАНТ 15
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
1. (x2 −2xy) y′ = xy − y2 . |
2. yex dx +( y +ex )dy = 0. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. x |
2 |
y |
′′ |
+ xy |
′ |
=1. |
|
′′ |
|
′ |
|
xe−x |
|
|
4. y |
+ 2 y |
+ y = x2 −1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
5.x 9 − y2 dx − y(4 + x2 )dy = 0.
II.Решить задачи Коши:
6. xy′+ y = sin x; y(π2) = 2π .
8. y′′′ = 6 x3 ; y(1) = 0, y′(1) = 5, y′′(1) =1.
10. y′′+8y′+16 y =16x3 + 24x2 −10x +8;
′ |
= 3. |
y(0) =1, y (0) |
III. Задача
|
7. |
|
x2 y′ = 2xy +3y3 ; |
y(1) =1. |
||
|
|
|
|
′′ |
′ 2 |
′ |
|
|
|
|
9. y (1 + y) = |
( y ) |
+ y ; |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
y(0) = y (0) = 2. |
||
|
dx |
|
= 6x + y, |
|
|
|
|
|
|
x(0) =1, y(0) = 7. |
|||
|
|
|
||||
11. |
dt |
|
|
|||
dy |
|
= 5x + 2 y, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со скоростью, пропорциональной количеству непреобразованного вещества. Сколько вещества было в начале процесса, и через сколько времени останется лишь 1% первоначального количества вещества, если известно, что по истечении одного часа этого вещества было 31,4 г , а по истечении трех часов 9,7 г .
ВАРИАНТ 16
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
1. |
1 + x2 |
) |
dy − xydx = 0 |
2. y |
′′ |
|
′ |
2 |
= 0 |
( |
|
|
+ 2x (y ) |
|
|||||
3. |
y′′+16 y =8cos 4x |
4. ydx +( |
xy − x)dy = 0 |
5.y (x2 + y2 + a2 )dy + x(x2 + y2 −a2 )dx = 0
II.Решить задачи Коши:
6. xy′+ y = ln x +1; |
y (1)= 0. |
|
|
7. |
xy′′′ = 2; |
y (1)= 0,5; |
y′(1)= y′′(1)= 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. y′sin x − y cos x = y |
2 |
π |
|
|
2 |
|
|
|
= (y′) |
2 |
|
(0)= y′(0)=1. |
|
; y |
|
= − |
|
. |
|
9. 2 yy′′ |
|
; y |
|||
|
π |
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
|
′′ |
|
|
1 |
|
π |
|
dx |
|
|
10. y |
+ y = sin x |
; y 4 = 0, |
|
|
|
= 3x −2 y, |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
π |
|
|
11. |
dt |
x (0)=1, y (0)= 6. |
||
|
|
|
|
dy |
|
|||||
|
|
y′ |
=1. |
|
|
|
= 3x −4 y, |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
dt |
|
III. Задача
Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 10 км/ч. На полном ходу ее мотор был выключен и через 20 с скорость лодки стала равной 6 км/ч. Считая, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости лодки, найти путь, пройденный лодкой через 2 м после остановки мотора и скорость лодки в этот момент.
ВАРИАНТ 17
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
( |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. xy |
′ |
= x |
|
|
− y + y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
1 y − xy = x |
+ x. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3. tgx sin |
2 |
|
y + y′ cos |
2 |
x ctg y |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
y |
′′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y tg x = sin 2x. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
7 |
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
+3x |
|
|
y |
|
|
dx + |
7x |
|
y |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
II. Решить задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
π |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
y′′′ |
= e |
x |
+1; y (0)=8, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6. xy′+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
y |
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′(0)= 5, y′′(0)= 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
4 x |
|
|
||||
8. y |
′′ |
2 y |
+ |
− |
|
|
′ |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
9. y |
|
+ y −2 y = 16x + 22 |
e |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2(y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
y (0)= 0, y′(0)= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0)= 3, y′(0)= 5. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
= x − y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||
10. y′′− y′ = |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
y |
(0)= 2, y′(0)=1. |
|
11. |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(π )= e |
|
, y |
(π )= 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
ex +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
= x + y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Задача
Найти кривые, у которых длина отрезка, отсекаемого касательной на оси Oy, равна квадрату абсциссы точки касания.
29
ВАРИАНТ 18
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
|
1. (xy + y2 )dx = x2 dy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. y′−2 y = e2 x y4 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
′ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
e−3x |
|
|
|
|
|
|
3. xy |
= y |
+ x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. y |
+ |
6 y |
+9 y = 2x +5 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5. |
|
2 |
tg y − |
2 y3 |
|
|
3 |
sec |
2 |
|
y + 4 y |
3 |
+ |
|
3y2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x |
|
|
x |
3 |
dx + x |
|
|
|
|
|
x |
2 |
dy = 0. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
II. Решить задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
xy′ = |
2cos3 y |
; |
|
y (1)= π . |
|
|
|
|
|
7. |
y′ |
1 − x2 |
+ y = arcsin x; y(0) = 0. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
9. y′′ = |
|
1 |
|
; y (0)=1, y′(0)= 2. |
|
||||||||||||
8. y′′ = |
|
|
|
|
; y |
|
|
= |
|
, y′ |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
sin |
2 |
2x |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
y′′−8y′ =16 + 48x2 −128x3 ; |
|
|
|
|
|
dx |
= 5x −3y, |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
y (0)= −1, y′(0)=14. |
|
|
|
|
|
|
11. |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
x(0)= 2, y (0)= 3. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= 3x − y, |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Задача
Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью Ox имеет абсциссу вдвое меньшую абсциссы точки касания.
ВАРИАНТ 19
I. Найти общие решения или общие интегралы дифференциальных уравнений:
1. x |
3 |
y |
′ |
= y |
( |
x |
2 |
+ y |
2 |
) |
. |
|
|
|
|
|
|
′ ′′ |
′ |
) |
2 |
+1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. 2xy y |
= (y |
|
|||||
3. y′ = |
|
x |
+ |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. y′′(4 + y)= 2(y′)2 . |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
′ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
y |
+ 2 y |
+ 2 y = ex sin x . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
II. Решить задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. xy′− y = x |
2 |
sin x; |
|
|
|
π |
=π. |
|
7. y′(x + x )= |
1 − y; |
y (1)= 0. |
||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30