Учебное пособие 587

Зададим векторы u и v:

>u:=vector([2,3,5]): v:=vector([-2.3,4,10]):

Скалярное произведение векторов:

>dotprod(u,v);

57.4

Векторное произведение:

> crossprod(u,v);

[10, -31.5, 14.9]

Угол между векторами в радианах:

> psi:=angle(u,v);evalf(psi);

:= arccos( 0.1371563117 38 )

0.5633174125

4 . О п е р а ц и и м а т е м а т и ч е с к о г о а н а л и з а

Обратите внимание на следующую возможность вывода результата (слева так называемая инертная форма функции diff):

> Diff(x^2*arctan(x-2),x)=diff(x^2*arctan(x-2),x);

Производная восьмого порядка:

> Diff(x^2*ln(x-2),x$8)=diff(x^2*ln(x-2),x$8);

Можно попытаться упростить этот результат:

9

Частная производная по x функции двух переменных cos(x/y + 1) x2y:

> diff(cos(x/y+1)*x^2*y,x);

Частная производная по x 2-го порядка:

> Diff(cos(x/y+1)*x^2*y,x$2)=diff(cos(x/y+1)*x^2*y,x$2);

Для создания функций с производными может использоваться дифференциальный оператор D. В форме D(f)(x) этот оператор подобен diff(f(x),x).

Поставим целью определить функцию u(x), в каждой точке равную производной функции f (x) = sin x2. Применение diff, как и следует ожидать, дает нужное выражение

>f:=x->sin(x^2);

>diff(f(x),x);

2 cos(x2 ) x

Но возникает вопрос: как это выражение присвоить имени функции, к которой потом можно было бы обращаться как к настоящей функции, т.е. вычислять значение при заданном аргументе, строить графики и т.д.? Такой, казалось бы, очевидный способ не приводит к успеху:

> u:=x->diff(fun(x),x);

u := x diff(fun(x), x)

> u(2.);

Error, (in u) wrong number (or type) of parameters in function diff

Проблема полностью решается с помощью оператора D:

> u:=D(fun);

10

u := x 2 cos(x2 ) x

> u(1.); # значение функции f (x) в точке x=1

1.080604612

4.2. Интегрирование

а) Неопределенные интегралы

Для вычисления неопределенных интегралов в Maple имеется функция int. При этом если аналитического значения интеграла не существует, возвращается исходная запись.

> int(a*x^n,x);

a x( n 1 )

n 1

Можно использовать инертную форму функции int:

> Int(ln(x)^3,x);

ln( x )3 dx

В таком представлении интеграл записывается, но не вычисляется, а если его всѐ же требуется вычислить, то используется функция value:

> value(");

ln(x)3 x 3 x ln(x)2 6 x ln(x) 6 x

> Int(x^2*sin(x),x)=int(x^2*sin(x),x);

> Int(sin(x)/x,x)=int(sin(x)/x,x); # эта функция назы-

вается «интегральный синус»

б) Определенные интегралы

Для вычисления определенных интегралов используются те же функции int и Int, в которых надо указать пределы интегрирования, например, x=a..b, если интегрируется функция переменной x.

11

> Int(sin(x)/x,x=a..b)=int(sin(x)/x,x=a..b);

b

a

> int(sin(x)/x,x=0..1);

Si(1)

Maple предпочитает выводить результат в таком как бы незавершенном виде, так как считает его более точным значением, чем в виде десятичного числа. Однако если требуется именно численное значение интеграла, причем с любой заданной точностью, можно применить функцию evalf. Существует и другая возможность сразу получить численный результат – записать один из пределов в виде вещественного числа, т.е. с точкой:

> int(sin(x)/x,x=0..1.);

0.9460830704

С помощью функции int можно также вычислять двойные и тройные интегралы, записывая их как повторные (т.е. интеграл внутри интеграла):

> Int(Int(arctan(y/x)/(x*y),x=2.0..4.4),y=-2..3.0);

-2 2.0

> evalf(");

1.257050378

Обратите внимание в приведенном примере на форму записи интеграла, которую легко принять за двойной интеграл. Тем не менее, это интеграл повторный, причем сначала интегрирование производится по x, а затем по y.

Пример повторного интеграла, у которого внутренний интеграл имеет переменные пределы:

> p:=Int(Int(2-x-y,x=sqrt(y)..y^2),y=0..1): p=value(p);

12

4.3. Вычисление пределов функций

Для вычисления предела функции в точке x = a в пакете Maple используются функция limit (инертная форма – Limit):

Здесь f – алгебраическое выражение, x – имя переменной, dir – параметр, указывающий направление поиска предела (right – справа, left – слева, real – в области вещественных значений, complex – в области комплексных значений). Значением a может быть бесконечность (infinity).

> Limit(sin(x)/x,x=0)=limit(sin(x)/x,x=0);

> Limit(((x-2)/x)^x,x=infinity)=limit(((x-2)/x)^x, x=infinity);

> Limit(2^(1/x),x=0,left)=limit(2^(1/x),x=0,left);

1

lim 2x 0

x0-

>Limit(2^(1/x),x=0,right)=limit(2^(1/x),x=0,right);

1

lim 2x

x0+

>Limit((2^x-1)/x,x=-infinity)=limit((2^x-1)/x, x=-infinity);

> Limit((2^x-1)/x,x=infinity)=limit((2^x-1)/x, x=infinity);

lim

2x 1

x x

13

4.4. Вычисление сумм и произведений

Для вычисления сумм и произведений последовательностей могут использоваться функции:

Здесь f – функция, задающая члены суммируемого ряда, k – индекс суммирования, m и n – целочисленные пределы изменения k, alpha – выражение формата RootOf. Значение n может быть равно бесконечности (infinity).

> sum(k^2, k=0..4);

30

> Sum(k^2, k=0..4)=sum(k^2, k=0..4);

4

k2 30

k 0

Разработчики Maple рекомендуют при использовании упомянутых функций заключать k и f в прямые кавычки, например, sum('f','k'=m..n). Это предотвратит возможную ошибку, связанную с предшествующим присваиванием переменной k определенного значения.

> sum('k^2', 'k'=0..n);

> sum('a[k]*x^k','k'=0..4);

> sum('1/k!', 'k'=0..infinity); e

14

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Решить уравнения и систему (построить график, из него найти количество корней и начальные приближения):

3. Решить СЛАУ. Для матрицы А системы найти обратную А–1 и транспонированную АТ матрицы, определитель матрицы. Найти произведение А–1АТ.

3x1 2x2 x3 5

2x1 x2 x3 6 x1 5x2 3

4. Даны векторы p (2; 3; 1) , q ( 3; 1; 3) , r (4; 2; 2) .

Найти их смешанное произведение и двойное векторное произведение.

15

Вариант 2

1. Решить уравнения и систему (построить график, из него найти количество корней и начальные приближения):

3. Решить СЛАУ. Для матрицы А системы найти обратную А–1 и транспонированную АТ матрицы, определитель матрицы. Найти произведение А–1АТ.

x1 x2 2x3 6

2x1 3x2 7x3 16 5x1 2x2 x3 16

4. Даны векторы p (3; 2; 1) , q (1; 1; 2) , r (2; 1; 1) .

Найти их смешанное произведение и двойное векторное произведение.

16

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. - М: Мир, 1997. - 208 с.

2.Дьяконов В.П. Maple 7: Учебный курс. - СПб.: Питер,

2002. - 672 с.

17