Учебное пособие 501
.pdfsin |
|
|
1 6 4 ( 7) 0 ( 9) |
|
|
|
|
|
34 |
|
|
0,64. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(6)2 ( 7)2 ( 9)2 |
|
( 1)2 (4)2 (0)2 |
17 |
166 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
arcsin(0,64) 390.
Задача для самостоятельного решения. Вершины пирамиды находятся в точках А(6,1,1), B(4,6,6) , С(4,2,0) и D(1,2,6).
Составить:
а) уравнения ребра АВ; б) уравнение грани АВС; в) уравнения высоты DE;
г) уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно ребру АВ;
д) уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно ребру АВ.
Вычислить:
е) длину ребра ВС;
ж) угол между ребром CD и плоскостью АВС;
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3
Пример 1. Даны вершины треугольника А(4,3), В(-3,-3), С(2,7). Найти:
а) уравнение стороны АВ, б) уравнение высоты СH, в) уравнение медианы AM, г) угол АВС,
д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ,
е) расстояние от точки С до прямой АВ.
Решение.
а) Уравнение AB запишем как уравнение прямой, походящей
через две заданные точки A(4,3) и B(-3,-3):
x 4 y 3 , 6(x 4) 7(y 3), 6x 7y 3 0.
3 4 3 3
11
б) Уравнение высоты CH, как перпендикуляра к стороне AB,
запишем как каноническое уравнение прямой, проходящей через точ-
ку С(2,7) и имеющей в качестве направляющего вектора нормаль к
AB:
N AB 6, 7 , |
x 2 |
|
y 7 |
или 7x 6y 56 0. |
|
6 |
7 |
||||
|
|
|
в) Медианой называется отрезок прямой, соединяющий верши-
ну треугольника с серединой противолежащей ей стороны. Найдем координаты точки M – середины отрезка BC:
xM |
xB xC |
|
|
3 2 |
|
1 |
, yM |
|
yB yC |
|
3 7 |
2. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Для медианы AM запишем уравнение прямой, проходящей че- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
рез две заданные точки |
x 4 |
|
y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
, 2x 9y 19 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
4 |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) Угол АВС можно искать его как угол между векторами |
|||||||||||||||||||||||||||||||
BA 4 ( 3),3 ( 3) 7,6 и BC 2 ( 3),7 ( 3) 5,10 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||
cos(ABC) |
|
|
|
|
|
7 5 6 (10) |
|
95 |
|
|
|
|
19 |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
62 72 52 102 |
|
|
|
|
85 125 |
425 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos( |
|
19 |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
425 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) Так как прямая, проходящая через вершину С, параллельна стороне AB (6x 7y 3 0), то проекции вектора нормали к AB можно взять те же
6(x 2) 7(y 7) 0 или 6x 7y 37 0.
е) Расстояние от точки С(2,7) до прямой АВ вычисляем по фор-
муле
12
d 6 xc 7 yc 3 6 2 7 7 3 40 . |
||
62 ( 7)2 |
62 ( 7)2 |
85 |
Задача для самостоятельного решения. Даны вершины тре-
угольника А(10,–9), В(–2,–4), С(4,4).
Найти:
а) уравнение стороны АВ, б) уравнение высоты СH, в) уравнение медианы AM, г) угол АВС,
д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ,
е) расстояние от точки С до прямой АВ.
Если при вычислении пределов алгебраической суммы, произведения или частного от деления функций сами функции стремятся к некоторым константам, не равным одновременно нулю в случае деления функций, то вычисление пределов не вызывает затруднения.
Пример 2. Найти предел lim |
7x2 2x |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
3x4 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
lim 7x2 |
2x |
|
|
7lim x2 2lim x |
|
|
|
|||||||||
|
7x |
2 |
2x |
|
|
|
|
9 |
|
||||||||
lim |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
x 1 |
x 1 |
|
|
. |
||||
|
|
4 1 |
lim 3x4 |
1 |
3lim x4 lim 1 |
2 |
|||||||||||
x 1 3x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
x 1 |
x 1 |
|
|
|
Пределы отношения бесконечно малых величин, отношения бесконечно больших величин, произведения бесконечно малой и бесконечно большой величины могут принимать различные значения или даже не существовать. Выражения вида
0 , , 0 , , 1 называются неопределенностями.
0
Пример 3. Найти предел |
|
7x3 |
4x2 |
2x 1 |
||
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
3 4x2 |
|
||||
|
x 3x |
6x 8 |
Решение. Предел содержит неопределенность типа . Для ее
раскрытия выносим старшие степени в числителе и знаменателе:
13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
7x |
4x |
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
x |
|
x2 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
3x |
4x |
6x 8 |
|
x |
|
3 |
|
4 6 |
8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x2 |
|
x3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
4 |
|
|
6 |
|
8 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь было использовано, что при x величины |
1 |
, |
1 |
, |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
x3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
стремятся к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 4. Найти предел |
|
|
|
3x 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 x2 |
5x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Для выделения бесконечно малых разложим числитель и знаменатель на множители по корням и сократим бесконечно малые множители (x-2):
|
x2 |
3x 10 |
|
(x 2) x 5 |
|
x 5 7 |
||||||||
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
. |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||||||||
x 2 |
2x |
5x 2 |
x 2 |
x 2 |
2x 1 3 |
|||||||||
|
|
|
2(x 2) x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Найти предел |
lim |
|
|
3x 1 2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x |
2 4x 5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
lim |
( |
|
|
|
|
2)( |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
3x 1 |
3x 1 |
3x 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 4x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x 1 x |
x 1 x 5)(x 1( |
3x 1 |
2) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(3x 1) 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(x 1) |
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 1 x 5)(x 1 ( |
3x 1 |
2) |
x 1 x 5)(x 1( |
3x 1 |
2) |
||||||||||||||||||||||||||
lim |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 1 x 5 3x 1 2 |
|
|
6 (2 2) 8 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пример 6. Найти предел |
lim |
1 cos7x |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
sin2 5x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Данный предел содержит неопределенность типа 0 . 0
Преобразуем это выражение так, чтобы можно было воспользоваться
1-м замечательным пределом lim |
sin (x) |
1: |
|
||
(x) 0 |
(x) |
|
|
lim |
1 cos7x |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x 0 |
sin2 5x |
|
|||||||
|
|
7x |
2 |
|
|
||||||
|
sin |
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
2 lim |
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7x |
|
||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
|
|
|
|
|
|
|
7x |
7x |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
2sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
|
2 |
2 lim |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
sin2 5x |
|
|
|
7x 2 |
sin2 5x |
|
|
|
||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
25x2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
25x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5x |
2 |
49x2 |
|
|
|
|
49 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin5x |
|
|
4 25x |
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x 3 |
x 3 |
|
Пример 7. Найти предел lim |
|
. |
|
7x 1 |
|||
x |
|
Решение. Для раскрытия неопределенности 1 преобразуем дробь и показатель степени так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом.
lim |
7x 3 |
x 3 |
= lim |
7x 1 4 |
x 3 |
= lim |
|||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
x 7x 1 |
x |
7x 1 |
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
7x 1 x 3 4 |
|
lim |
|
4 x 3 |
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
7x 1 |
||||||||
|
4 |
4 7x 1 |
|
||||||||||||
=e |
x |
=e7. |
|||||||||||||
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
7x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x 3 |
||
1 |
|
|
= |
|
7x 1
Задачи для самостоятельного решения. Найти пределы
1 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 x x |
|
1 cos2x |
|
|||||
а) lim |
|
|
|
, б) lim |
|
|
|
, в) lim |
|
, |
x x x2 |
x 2 |
x2 4 |
x 0 |
4x2 |
|
|||||
|
3x 2 |
x 5 |
|
|
|
|
|
|||
г) lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
x 3x 1 |
|
|
|
|
|
|
15
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4
Пример 1. Найти производную функции y cos(7x 2) . x2
Решение. В этом примере необходимо применять формулы для производной частного двух функций и для производной функции от функции (производной сложной функции), то есть, если y f ( (x)),
то y |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( (x)) (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
x |
2 |
cos(7x |
2)(x |
2 |
)' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
cos(7x |
|
|
(cos(7x 2)) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
sin(7x 2)(7x 2) x2 |
2x cos(7x 2) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
7x2 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
sin(7x 2) 2x cos(7x 2) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x sin(7x 2) 2cos(7x 2). x3
1
Пример 2. Найти производную функции y 2sin2 x .
Решение. Применяя формулу для производной сложной функции получим:
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
sin |
2 |
x |
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
2 |
|
ln2 |
|
|
|
|
2 |
|
ln2 |
|
|
(sin x) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
x |
|
|
|
|
|
|
sin3 x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
sin2 x |
|
ln2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Найти производную функции y e x 1 e2x . Решение. Используя правило дифференцирования произведе-
ния и правило дифференцирования сложной функции, имеем
16
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
x |
|
|
|
2x |
|||||||||||||||||
|
1 e |
|
e |
|
1 e |
e |
1 e |
|
||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e |
|
|
|
|||||||||||||
e |
|
|
x |
|
1 e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 e2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
1 e2x e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2x (2x) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
1 e2x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
1 e2x e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2x 2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
1 e2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Найти производную функции y 41 cos3 x . Решение.
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 cos |
|
x |
|
|
|
|
1 cos |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 4 (1 cos3 x)3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
3cos2 |
x (cos x) |
|
|
|
|
|
|||
|
4 4 (1 cos3 |
x)3 |
|
|||
|
1 |
|
|
3cos2 |
x ( sin x). |
|
|
|
|
|
|||
|
4 4 (1 cos3 |
x)3 |
|
Задачи для самостоятельного решения. Найти производную функций
а) |
y |
|
x 1 |
, |
|
б) y arccos |
|
, |
|||
1 3x |
|||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
sin 2x |
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
г) y sin |
sin2x. |
||||||
в) |
y |
|
9 tg2x |
, |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Пример 5. Найти производную функции y cos x sin x . Решение. Так как в этом примере основание и показатель сте-
пени зависят от x(то есть нельзя использовать ни строку с производной показательной функции, ни строку с производной степенной функции), то применим способ логарифмического дифференцирова-
ния. Прологарифмируем исходную функцию
ln y(x) ln cos x sin x sin x lncos x .
17
Продифференцируем левую и правую части последнего равен-
ства
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin x) lncos x sin x |
lncos x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x lncos x sin x |
|
1 |
|
(cos x) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x lncos x sin x |
1 |
|
|
( sin x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
и окончательно получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
sin2 x |
||||||||||||
y |
|
y(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
cosx lncosx |
|
cosx |
cosx |
|
|
cosx lncosx cosx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Пример 6. Найти производную неявно заданной функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arccos(2x y) 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Решение. Это уравнение не разрешимо относительно y, следо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вательно, |
функция |
|
|
y(x) |
задана неявно. В общем виде это записыва- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ется так: |
F(x,y) 0. |
Чтобы найти производную y (x), нужно обе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
части уравнения F(x,y) 0 продифференцировать по |
x, рассматри- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вая y как функцию от |
|
x. А потом из полученного уравнения выра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жаем искомую производную y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
arccos(2x y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2xy) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
(2 |
|
) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ln2; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (2xy)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y xy ) 2 |
|
ln2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 4x2y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2y |
|
|
|
2x ln2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 4x2y2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 4x2y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
y |
|
2x ln2 |
1 4x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
Пример 7. Найти производную параметрически заданной
|
|
2 |
|
функции |
x 2sint |
|
. |
|
|
||
|
|
|
2 |
|
y 3cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (t) |
||
Решение. Если функция задана параметрически |
|
, то |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t) |
||
|
|
y |
|
|
|
|
y x y |
x |
|
||
|
|
|
|
|
y t |
|
|
||||
|
|
t |
; |
|
|
t |
|
t t |
t |
t |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
yx |
xt |
yxx |
xt |
xt 3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
3sint2 2t |
3sint2 |
|
|
2 |
||||||
yx |
|
3cost2 |
|
|
3sint2 t2 |
|
|
3 |
tgt . |
|||||||||
|
2sint2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2cost2(t2) |
|
2cost2 |
2t |
2cost2 |
2 |
|||||||||||||
Задачи для самостоятельного решения. Найти производную |
|
|||||||||||||||||
функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y ln x lnx , |
|
б) ctg(x2 y2) 1, в) x et . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y lnt |
|
|
|
|
|
|||
г) |
cos xy x ; |
|
|
д) x ln(1 t2), |
y t arctgt. |
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 8. Исследовать функцию y |
x |
3 |
и построить ее |
|
|
|
||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
график.
Решение. 1. Функция не определена в точках, где знаменатель обращается в нуль, то есть при x1 3 , x2 3 . Следовательно,
D( f ) ( , 3) ( 3,3) (3, ) .
2.Определим точки пересечения графика с координатными осями. Единственной такой точкой будет O(0,0).
3.Исследуем функцию на четность, нечетность, периодич-
ность. Имеем |
f (x) |
x |
3 |
|
( x) |
3 |
f (x), следовательно, f(x)- |
x2 |
|
( x)2 |
|
||||
|
|
3 |
3 |
||||
нечетная. |
|
|
|
|
|
|
|
19
При исследовании функции можно ограничиться значениями х 0, а затем продолжить функцию, пользуясь свойством нечетности (график симметричен относительно начала координат).
4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. а) Вертикальные асимптоты.
lim |
|
x3 |
, lim |
|
x |
3 |
. |
|
2 3 |
|
2 |
|
|||
x 3 0 x |
x 3 0 x |
3 |
Следовательно, x 3 - вертикальная асимптота. б) Наклонные асимптоты
k lim |
f (x) |
lim |
|
x |
2 |
|
1, |
||
|
|
2 |
3 |
||||||
x x |
x x |
|
|
|
|||||
b lim ( f (x) x) lim ( |
|
x |
3 |
x) 0 . |
|||||
|
2 |
|
|||||||
x |
|
x x |
3 |
Таким образом, прямая y = x – наклонная асимптота.
5. Определим точки возможного экстремума. Для этого найдем производную.
|
|
|
x |
3 |
|
|
3x |
2 |
(x |
2 |
3) x |
3 |
2x |
|
x |
2 |
(x |
2 |
9) |
|
||||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(x) |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
(x |
2 |
3) |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
3) |
2 |
0. |
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
|
Критическая точка первого рода: x1 0.
Точки x4,5 3 не могут быть точками экстремума, так как
они не входят в область определения функции.
6. Определим точки возможного перегиба. Для этого найдем вторую производную.
|
|
|
x3 |
|
x2(x2 9) |
|
|
6x(x2 9) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(x) |
2 |
3 |
|
|
(x |
2 |
3) |
2 |
|
|
(x |
2 |
3) |
3 0. |
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Существует одна критическая точка второго рода: x1 0. Найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстрему-
ма, промежутки выпуклости, и точки перегиба.
Результаты исследования оформим в виде таблицы, в которой отражены изменения знака первой и второй производных.
20