Учебное пособие 489

Напряженное состояние в точке упругого пространства, условно изображено на рис. 1.1.

таблицы находятся обозначения параметров. Величины К, L или M в последней строке таблицы определяют номера строк, в которых находятся величины

Главные напряжения.

Положения (направляющие косинусы) главных площадок.

1.5. Задача № 4

Расчет на прочность и жесткость вала при сложном деформировании

Рис. 1.2

На рис. 1.2 представлены основные схемы промежуточных валов механических передач с установленными на них зубчатыми колесами с диаметрами d1 и d2 . Каждое из колес может быть цилиндрическим прямозубым или косозубым, коническим, червячным, что определяется наличием или отсутствием осевых сил в зацеплении колес Fa1 и Fa2 .

На рис. 1.2 обозначено:

K1 и K2 - точки зацепления 1- го и 2- го колес с колесами предыдущей и

11

Таблица 7

последующей ступеней передачи; - угол поворота точки K2 относительно точки K1 вокруг оси вала; Ft1 и Ft2 - окружные силы, приложенные к зубчатым колесам 1 и 2 в точках зацепления K1 и K2 и направленные по касательным к окружностям, проходящим через эти точки ; Fr1 и Fr2 - радиальные силы в зацеплениях колес, линии действия которых проходят через точки K1 и K2 перпендикулярно оси вала; Fa1 и Fa2 - осевые

12

силы в зацеплениях колес, проходящие через точки K1 и K2 и направленные параллельно оси вала.

Номер варианта исходных данных к этой задаче (табл. 7) равен сумме трех последних цифр номера зачетной книжки студента-K , L , M .

Номер I схемы нагружения вала определяется по формуле если M - четное число. В противном случае I 0,5(M 1) 1.

Если число L нечетное, то направления окружных сил на схеме нагружения вала (рис. 1.2) изменяются на противоположные. Если число K нечетное, то направления осевых сил на схеме нагружения вала (рис. 1.2) изменяются на противоположные.

В табл. 7 силы даны в Ньютонах, момент в Н*мм, угол в градусах, длины участков – в мм.

Во всех вариантах расположения колес принять, что M Ft1d1 Ft2d2 – вращающий момент, передаваемый зубчатыми колесами; d1 и d2 - диаметры зубчатых колес, которые рассчитываются из условия равномерного вращения вала, которое может быть только при силовом равновесии вала; L1, L2 , L3 - расстояния между опорами и местами установки зубчатых колес.

Всоответствии с вариантом задания произвести расчет вала на прочность

ижесткость.

1.5.1.Порядок расчета вала

1.Из условия равномерного вращения вала определить диаметры зубчатых колес d1 и d2 .

2.Изобразить в масштабе схему нагружения вала.

3.Изобразить схему нагружения вала после приведения сил в граничные точки оси вала.

4.Определить реакции опор вала во взаимно ортогональных плоскостях, указанных на схеме нагружения вала.

5.Рассчитать изгибающие и крутящие моменты в сечениях вала, построить эпюры изгибающих и крутящих моментов.

6.Рассчитать диаметры вала на прочность по эквивалентным напряжениям (приведенному моменту M* ) в наиболее опасных сечениях вала.

Опасным сечением вала считать то, в котором приведенный момент нагрузки на вал максимален.

7. Рассчитать вал на жесткость при кручении.

1.5.2. Расчет на прочность

При одновременном действии крутящего Mk и изгибающего Mi моментов расчет вала ведут по эквивалентному моменту в сечении M* =Mi2 0,75Mk2 , где

Mi Mx2 My2 - суммарный изгибающий момент в сечении вала.

Опасным сечением вала считать сечение, в котором приведенный момент

13

нагрузки на вал максимален.

Диаметр вала определяется по формуле

d 3 32M* ,

где = 50 МПа - допускаемое нормальное напряжение материала вала.

Если участок вала действует только крутящий момент Mk , то его диаметр можно определить из условия прочности на кручение:

где = 0,5 - допускаемое касательное напряжение материала вала.

1.5.3.Расчет на жесткость

Сцелью уменьшения мертвого хода деталей, закрепленных на валу, в точных и силовых механизмах за счет упругости крутильная жесткость валов ограничивается допускаемым углом закручивания .

Условие жесткости вала на кручение имеет вид

max ,

где - допустимая величина угла закручивания вала на рабочей длине L (при расчете принять = 20 угловых минут, то есть / 540 рад).

Рабочая длина вала L определяется суммированием длин участков вала, на которых крутящий момент вала отличен от нуля.

Диаметр вала на нагруженном участке определяется по формуле

d 4 32Mk L ,

G

где G 8*104 МПа – модуль сдвига материала вала.

Если условия жесткости вала не выполнено, то есть d d , то в качестве диаметра вала принимают наибольший из диаметров d и d . Полученный диаметр выражают в миллиметрах и округляют до целого числа из предпочтительного ряда размеров, в котором числа заканчиваются цифрами 0, 2, 4, 5, 6, 8.

1.6. Задача №5

Определение изгибающих моментов и поперечных сил в поперечных сечениях статически определимых балок

Для балки, схема которой приведена в табл. 8 требуется:

а) вычертить расчетную схему, указав размеры и нагрузки, выраженные через q и a;

б) вычислить опорные реакции и проверить их; в) составить аналитические выражения изменения изги-

14

приблизительный вид изогнутой оси балки; е) для опасного сечения подобрать поперечное двутавровое сечение:

(ГОСТ 8239-72) при допускаемом напряжении = 200 МПа (сталь). На всех эпюрах обязательно указать числовые значения ординат в

характерных сечениях участков.

Таблица 8

Параметры расчетной схемы взять из табл. 9. В первой строке таблицы находятся обозначения параметров. Величины К, L или M в последней строке таблицы определяют номера строк, в которых находятся величины соответствующих параметров.

1.7. Задача №6

Определение перемещений статически определимых балок

Для заданной схемы балки, рассмотренной в задаче №5, из материала, имеющего модуль упругости E =2*105 МПа и момент инерции сечения балки относительно нейтральной оси Jx , определенный при решении задачи №3, методом Мора определить:

вертикальное перемещение центра сечения, в котором приложен сосредоточенный момент;

вертикальное перемещение центра сечения, в котором приложена сосредоточенная сила;

угол поворота сечения, в котором приложен сосредоточенный момент; Вычертить приближенный вид изогнутой оси балки с учетом полученных

результатов.

16

1.8. Задача № 7

Раскрытие статической неопределимости статически неопределимых балок

Превратить балку, рассмотренную в задаче №5 в статически неопределимую балку, поставив дополнительную шарнирно-подвижную опору в точке оси балки, в которой приложен изгибающий момент. Раскрыть статическую неопределимость получившейся балки в следующем порядке:

выбрать основную систему, отбросив добавленную связь. Для этой системы эпюра изгибающих моментов построена в задаче 5(грузовая эпюра).

приложив к основной системе в точке, в которой поставлена дополнительная опора единичную силу, направленную вертикально вверх и, удалив все другие нагрузки, построить эпюру изгибающих моментов в сечениях балки (единичную эпюру), вызванных этой силой.

записать для рассматриваемой балки каноническое уравнение метода сил;

определить методом Мора с использованием правил Верещагина коэффициент канонического уравнения 11 и правую часть этого уравнения 1P ,

выразив их через жесткость балки EJx и величины q и a;

решить каноническое уравнение метода сил, определив реакцию добавленной опоры;

построить суммарную эпюру изгибающих моментов в статически неопределимой балке.

1.9. Задача № 8

Расчет призматического стержня на устойчивость

Стальной стержень длиной l сжимается силой F . Схема нагружения и закрепления стержня приведены в табл. 11, а величины F и l в табл. 10. Определить размер a сечения стержня из расчета на устойчивость.

При решении задачи считать, что стержень изготовлен из пластичного материала –стали Ст. 3, для которого по строительным нормам и правилам проектирования приняты следующие характеристики: E = 2*105 МПа; T = 240 МПа; = 160 МПа; 0 = 60; пред = 100.

При использовании формулы Ф.С. Ясинского кр a0 b принять a0 = 310

МПа; b = 1,14 МПа.

Задачу решать в следующем порядке

1. Для схем нагружения с четными номерами принять величину коэффициента приведения длины стержня равной = 1, в противном случае принять = 2/3 = 0.667.

17

2.Выразить площадь, минимальный момент инерции сечения, минимальный радиус инерции сечения и гибкость стержня через размер a.

3.Для квадратного сечения

1. Для полого поперечного сечения площадь S и минимальный момент инерции Jmin определяется как разность соответствующих величин для сплошного сечения и отверстия.

2. Определить размер поперечного сечения при допускаемом напряжении (использовать метод последовательных приближений, предварительно приняв величину коэффициента = 0,5).

В качестве критерия окончания процесса последовательных приближений использовать относительное отклонение

k k 1 /( k k 1 )

коэффициента и условие 0.03 , где k -номер приближения;

После окончания процесса последовательных приближений выразить полученный размер a поперечного сечения в мм и округлить результат до целого числа.

18

Определить соответствующие округленному размеру a площадь сечения, гибкость и коэффициент .

Используя формулу Л. Эйлера для критической силы или формулу Ф.С. Ясинского для критического напряжения определить величину критической силы и коэффициента запаса устойчивости.

Таблица 11

19

При решении этой задачи нужно использовать таблицу 12 зависимостей коэффициента от гибкости стержня .

Таблица 12

Прочерки в этой таблице означают, стержни из соответствующего материала не могут иметь соответствующую гибкость.

При использовании формулы Ясинского использовать таблицу 13.

20