Учебное пособие 486
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln r2 . |
|
|
(3) |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
0 |
r |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Тогда, подставив выражение (3) в уравнение (2), получим |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
2 |
|
|
|
qτ |
|
ln |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πε |
|
r |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Проведём вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Т2 6,33 10 16 |
Дж 3,96 103 эВ. |
|
|
|
|||||||||||
Пример 4. Электрон влетает в плоский горизонтальный |
||||||||||||||||||
конденсатор |
параллельно |
|
его |
пластинам |
со |
скоростью |
||||||||||||
0 107 |
м с. Напряженность поля в конденсаторе Е=100В/cм, |
|||||||||||||||||
длина конденсатора |
=5см. |
Найти |
модуль и |
направление |
||||||||||||||
скорости электрона в момент вылета из конденсатора. На |
||||||||||||||||||
сколько |
отклонится |
|
|
электрон |
|
от |
первоначального |
|||||||||||
направления? |
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Совместим |
начало |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
координат |
с |
точкой, |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
находился |
|
электрон |
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
||||||
момент |
его |
|
попадания |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
поле |
|
|
конденсатора. |
|
|
a |
|
|
|
|
h |
|
x |
|||||
Движение |
электрона |
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
конденсаторе |
можно |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|||||||||||
представить |
|
как результат |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
сложения |
|
|
|
двух |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
прямолинейных движений: равномерного движения со |
||||||||||||||||||
скоростью |
|
x 0 |
|
в |
|
горизонтальном |
направлении |
|
и |
|||||||||
равноускоренного движения с некоторым ускорением a вдоль |
||||||||||||||||||
оси Оy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ускорение вдоль оси Оy создает электростатическая |
||||||||||||||||||
сила (силой тяжести по сравнению с электростатической |
||||||||||||||||||
пренебрегаем) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a eE , m
где е – заряд электрона, Е – напряженность поля.
Тогда уравнения, определяющие зависимость координат х и у и проекций скорости x и y от времени,
будут иметь вид:
x0t ,
x 0 ,
y at2 eEt2 , 2 2m
y at eEt . m
В момент вылета из конденсатора Тогда получим
|
(1) |
|
(2) |
x , y=h, |
t t1. |
t |
|
|
|
|
; |
y |
|
eE |
|
; |
h |
eE 2 |
. |
(3) |
||||||||||
1 |
|
0 |
|
|
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
2m 02 |
|
|
|||||||||
В момент вылета модуль скорости равен |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
eE |
2 |
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
y |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 0 |
|
|
|
|||||
Направление вектора определяется углом , для |
||||||||||||||||||||||||
которого, как видно из рисунка, |
y |
|
|
|
|
eE |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
tg |
|
|
. |
|
|
|
(5) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
m 0 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставляя числовые значения, получим |
|
|
||||||||||||||||||||||
h 2,2 10 2 м, |
|
1,3 107 м |
|
; |
|
tg =0,9; |
420 . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин S равной 500 см2, подключён к источнику тока, ЭДС которого равна E = 300В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пластин от расстояния d1 = 1см до d2 =3 см в двух случаях: 1) пластины перед раздвижением
10
отключались от источника тока; 2) пластины в процессе раздвижения остаются подключёнными к нему.
Решение
1-й случай. Систему двух заряженных и отключённых от источника тока пластин можно рассматривать как изолированную систему, по отношению к которой справедлив закон сохранения энергии. В этом случае работа внешних сил равна изменению энергии системы:
A W W2 W1 , |
(1) |
где W1 – энергия поля конденсатора в начальном состоянии (пластины находились на расстоянии d1); W2 – энергия поля конденсатора в конечном состоянии (пластины находились на расстоянии d2).
Энергию в данном случае удобно выразить через заряд q на пластинах, так как заряд пластин, отключённых от источника, при раздвижении не изменяется. Подставив в
равенство |
(1) |
|
выражения |
W |
2 |
q2 |
|
/2C |
2 |
|
и |
W q2 |
/2C |
1 |
, |
||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
2 |
|
|
|
q |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2C |
2 |
2C |
1 |
|
2 |
|
C |
2 |
C |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
Выразив в этой формуле заряд через ЭДС источника |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
тока и начальную электроёмкость С1 q C1E , найдём |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C12E2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Подставляя в формулу (2) выражения электроёмкости |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(C1 0S /d1 |
и C2 0S /d2 ) плоского конденсатора, получим |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
02S2E2 |
d2 |
|
|
d1 |
|
|
|
0 SE2 |
d2 |
d1 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2d1 |
|
|
|
0S |
|
|
2d1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Произведя вычисления по формуле (3), найдём
А 8,85 10 12 500 10 4 3002 3 1 10 2 3,98мкДж. 2(1 10 2)2
11
2-й случай. Пластины остаются подключёнными к источнику тока и система двух пластин уже не является изолированной. Воспользоваться законом сохранения энергии в этом случае нельзя.
При раздвижении пластин конденсатора разность их потенциалов не изменяется (U=E), а ёмкость будет
уменьшаться (C 0S/d). Будут уменьшаться также заряд на
пластинах конденсатора (q=CU) и напряжённость электрического поля (Е=U/d). Так как величины E и q , необходимые для вычисления работы, изменяются, то работу следует вычислять путём интегрирования.
dA qE1dx, |
(4) |
где Е1 – напряжённость поля, создаваемого зарядом одной пластины.
Выразим напряжённость поля E1 и заряд q через расстояние x между пластинами:
E1 |
|
1 |
E |
E |
и q CE, или |
q 0 |
S |
E. |
|
|
|||||||
|
2x |
|||||||
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
x |
|||
Подставив эти выражения E1 и q в равенство (4), получим
dA |
1 |
|
0 |
SE2 |
dx. |
|
2 |
x2 |
|||||
|
|
|
|
Проинтегрировав это равенство в пределах от d1 до d2, найдём выражение для искомой работы:
|
1 |
|
|
|
d2 |
dx 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 d2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||||
A |
|
|
0SE |
2 |
|
|
|
|
|
0SE |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 SE |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
d2 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
d1 |
|
|
|
|
d1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
После упрощения последняя формула имеет вид |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
SE2 d2 d1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d1 d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сделав вычисления, получим
A =1,33 мкДж.
12
3.ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
3.1.Основные законы и формулы
1.Сила и плотность электрического тока
I |
dq |
; |
j |
dI |
en u , |
|
dS |
||||
|
dt |
|
|
||
где u , – средняя скорость упорядоченного движения зарядов; n – концентрация зарядов.
Сопротивление и проводимость проводника
R |
d |
; |
|
1 |
, |
|
|
||||
|
S |
|
|
||
где - удельное сопротивление, |
- удельная проводимость. |
||||
2. Обобщенный закон Ома в дифференциальной и |
|||||
интегральной формах |
I 1 2 E /R |
||||
j (E E); |
|||||
где E*- напряженность поля сторонних сил; 1 2 - разность потенциалов на концах участка цепи; E- ЭДС источников тока, входящих в участок
3. Закон Джоуля–Ленца в дифференциальной и интегральной формах
jE E2; |
Q RI2dt, |
где - удельная тепловая мощность тока. 4. Правила Кирхгофа
n |
n |
n |
Ik 0; |
Ik Rk Ek |
|
k 1 |
k 1 |
k 1 |
13
3.2. Примеры решения задач
Пример 1. Найдите заряд на конденсаторе в схеме, изображенной на рис.1.
C |
I1 |
c |
3R I1 |
a |
2R |
d |
|
R |
|
4R |
|
|
|
||
|
I0 |
b |
I2 |
|
|
U0 |
|
|
Рис.1 |
|
|
|
2R |
c |
3R I1 |
|
a |
R |
|
d |
|
I |
b |
4R |
I2 |
|
0 |
||||
|
|
|||
|
|
U0 |
|
|
|
Рис.2 |
|
||
Решение
Постоянный ток через конденсатор не проходит и в ветви, где он включен, тока нет. Поэтому ток I0, идущий от источника напряжения UO,пойдет по резистору R и разветвится в точке b на токи I1 и I2, не заходя в ветвь ас (рис.2).
Заряд на конденсаторе
где |
q = C·Uac , |
(1) |
|
Uac = U1 + U2 . |
(2) |
||
|
|||
Здесь U1 |
и U2 - падения напряжений на резисторах |
||
сопротивлением |
R и 2R соответственно: |
|
|
U1 =I0· R , U2=I1·2R .
Для их нахождения воспользуемся правилами расчета последовательной и параллельной цепей, упростив схему.
Применим закон Ома ко всей цепи
I |
|
|
U0 |
|
|
U0 |
|
9 |
|
U0 |
. |
(3) |
0 |
R |
|
(2R 3R) 4R |
|
|
|||||||
|
|
|
R |
|
29 R |
|
||||||
|
|
|
общ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2R 3R 4R
Для параллельных ветвей bcd и bd можно записать:
I1(2R + 3R) =I2·4R .
14
I |
|
|
I I |
|
I |
4 |
|
I |
9 |
I , |
I |
4 |
I |
|
|
|
4 |
|
|
9 U |
|
4 U |
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
4 |
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
29 R 29 R |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
U |
|
I 2R |
4 |
|
U0 |
2R |
8 |
U |
|
, |
|
U |
|
I |
|
R |
9 |
|
U0 |
R |
9 |
U |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
29 |
|
|
R |
|
|
|
29 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
29 |
|
|
R |
|
|
29 0 |
|
||||||||||||
Отсюда I2 = 5/4 В то же время yа основании (2)
U |
ac |
|
2 |
U |
|
|
8 |
U |
|
|
|
17 |
U |
|
. |
||
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|||||||||||
|
29 |
|
29 |
|
|
29 |
|
|
|||||||||
Подставляя это выражение в (1), получим |
|||||||||||||||||
|
|
|
q |
17 |
CU |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
29 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2. По проводнику сопротивлением R=3 Ом |
|||||||||||||||||
течет ток, сила которого возрастает. Количество теплоты Q, |
|||||||||||||||||
выделившееся в проводнике за время τ = 8с, |
равно 200 Дж. |
||||||||||||||||
Определить количество |
электричества |
|
q, протекшее за это |
||||||||||||||
время по проводнику. В момент времени, принятый за начальный, сила тока в проводнике равна нулю.
Решение
Из условия равномерности возрастания тока следует I=kt или dq/dt=kt, где k - коэффициент пропорциональности. Отсюда dq = ktdt, и полный заряд, прошедший за время τ
|
k 2 |
|
|
q k t dt |
. |
||
2 |
|||
0 |
|
Значение k найдем из выражения количества теплоты,
выделившейся в проводнике:
dQ = I2Rdt = k2 R t2 dt.
Интегрируя, получим Q k2R t2 dt 1k2 3R.
0 3
Отсюда k 
3Q/( 3R) .
После подстановки получим q |
3Q /4R 20 Кл. |
15 |
|
A |
B |
|
Пример 3. Найти силу тока |
||||
во |
всех |
участках |
цепи, |
||||
|
I3 |
представленной на рисунке (E1 |
|||||
I |
R3 |
=2,1 В, E2 = 1,9 В, R1 =45 Ом, |
R2 |
||||
R |
= 10 Ом и R3 |
= 10 Ом). |
|||||
1 |
Внутренним |
сопротивлением |
|||||
|
|
||||||
D |
C |
элементов пренебречь. |
|
|
|||
I2 |
R |
|
Решение |
|
|
|
|
|
2 |
|
Для |
расчета |
данной |
||
|
|
|
|||||
разветвленной цепи применим законы Кирхгофа. Для этого |
|||||||
выберем направления токов в ветвях и покажем их стрелками |
|||||||
на схеме. Узлы схемы обозначим точками А и С. Так как число |
|||||||
узлов равно двум, то запишем одно уравнение по первому |
|||||||
закону Кирхгофа, например, для узла С |
|
|
|
|
|||
|
|
|
I3=I1+I2 . |
|
|
|
(1) |
Запишем второй закон Кирхгофа для контуров ABC и |
|||||||
ACD, выбрав направления обхода контуров. |
|
|
|
||||
|
|
I3R3 + I1R1 = E1 , |
|
|
|
(2) |
|
|
|
I1R1 - I2R2 = E2 . |
|
|
|
(3) |
|
Вместо контура ACD или ABC можно было взять |
|||||||
контур ABCD. |
|
|
|
|
|
|
|
Имеем три уравнения с тремя неизвестными: I1, I2, I3. |
|||||||
При решении этой системы уравнений целесообразно в |
|||||||
уравнения подставить числовые коэффициенты. Тогда |
|||||||
уравнения примут вид: |
|
|
|
|
|
|
|
I3=I1+I2 10I3+45I1=2.1 45I1 – 10 I2=1.9
Решая эти уравнения, получим, I1=0,04A, I2 = -0,01 А, I3 = 0,03 А. Отрицательный знак у тока I2 указывает на то, что направление этого тока было выбрано нами неверно. В действительности ток I2 течет от D к С.
16
4.ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
1.Четыре одинаковых точечных заряда q = 10 нКл расположены в вершинах квадрата со стороной a = 10 см. Найти силу, действующую со стороны трех зарядов на четвертый.
2.Четыре одинаковых по модулю точечных заряда |q =20 нКл, два из которых положительны, а два отрицательны, расположены в вершинах квадрата со стороной a = 20 см. Найти силу, действующую на помещенный в центр квадрата положительный точечный заряд q0 =20 нКл.
3.Три одинаковых точечных заряда q =20.10-9 Кл расположены в вершинах равностороннего треугольника. На каждый заряд действует сила F =10 мН. Найти длину a стороны треугольника.
4.Три одинаковых точечных заряда q = 9 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой точечный заряд q0 нужно поместить в центре треугольника, чтобы система находилась в равновесии?
5.Два положительных точечных заряда находятся на расстоянии 0,5 м один от другого. Один заряд вдвое больше другого. На прямой, их соединяющей, находится в равновесии заряженный шарик. Найти расстояние от этого шарика до большего заряда. Будет ли равновесие устойчивым?
6.Заряды q1 = 40 нКл и q2 = -10 нКл расположены на расстоянии r =10 см друг от друга. Какой надо взять третий заряд и где следует его поместить, чтобы система находилась в равновесии?
7.Два шарика массой m =0,1 г каждый подвешены в одной точке на нитях длиной =20 см каждая. Получив одинаковые заряды, шарики разошлись так, что нити
образовали между собой угол 2 = 60о. Найти заряд каждого шарика.
8. Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити
17
разошлись на угол . Шарики погружаются в масло с плотностью о = 8.102 кг/м3. Определить диэлектрическую проницаемость масла, если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло останется неизменным. Плотность материала шариков =1,6.103 кг/м3.
9. Два одинаковых шарика подвешены в воздухе на нитях так, что их поверхности соприкасаются. После того, как каждому шарику был сообщен заряд q =0,4 мкКл, шарики разошлись на угол 2 = 60о. Найти массу шариков, если расстояние от центров шариков до точки подвеса =0,2 м.
10.Маленький шарик массой m =0,01 мг, несущий заряд q =10 нКл, помещен в однородное электрическое поле, направленное горизонтально. Шарик приходит в движение без начальной скорости и через время t = 4 с приобретает скорость
=50 м/с. Найти напряженность поля.
11.Расстояние d между точечными положительными зарядами q1 = 9q и q2 = q равно 8см. На каком расстоянии r от первого заряда находится точка, в которой напряженность Е поля зарядов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы второй заряд был отрицательным?
12.Электрическое поле создано двумя точечными зарядами q1 =40 нКл и q2 = -10 нКл, находящимися на расстоянии d =10 см друг от друга. Определить напряженность Е в точке, удаленной от первого заряда на r1 = 12 см и от второго на r2 = 6 см.
13.В вершинах квадрата со стороной a = 5см находятся одинаковые положительные заряды q=2нКл. Определить напряженность поля в середине одной из сторон квадрата.
14.Электростатическое поле создано двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными с
поверхностной плотностью 1 =1нКл/м2 и 2 = -2нКл/м2. Определить напряженность электростатического поля: 1) между плоскостями; 2) за пределами плоскостей. Построить график Е(x).
18