Методическая разработка к контрольной работе № 1 по дисциплине «Математика» для студентов направлений подготовки бакалавров. Горбунов В.В., Костина Т.И

Таким образом, уравнение плоскости A1A2A3 имеет вид

21x 9y 3z 48 0.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки A1 и A4. Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид

Ax By Cz D 0 определяется по формуле

sin

Al Bm Cn

A2 B2 C2 l2 m2 n2

Воспользуемся этой формулой для вычисления угла

3

Отсюда arcsin .

177

4) Уравнение высоты найдем как уравнение прямой, проходящей через точку A4 перпендикулярно плоскости

условия перпендикулярности прямой и плоскости следует

площадь которого равна половине площади параллелограмма,

Для вычисления объема пирамиды воспользуемся смешанным произведением векторов. Напомним, смешанное произведение трех векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. А объем

пирамиды равен 1 части объема этого параллелепипеда. 6

Имеем

30

Поэтому V 1 | 18| 3.

6

Задача №3

Даны координаты вершин треугольника ABC: A( 8,3),

B(4, 6), C(2,8). Найти:

2)угол A в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой;

3)уравнение высоты CD и ее длину;

4)уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD.

Сделать чертеж (рис.1).

соответствующие стороны треугольника и для получения их уравнений можно использовать каноническое уравнение прямой на плоскости

x x0 y y0 . l m

В результате получим

Разрешая эти уравнения относительно y , т.е. приводя их к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом

y kx b ,

векторами AB и AC, и для его нахождения можно использовать формулу

таблице найдем значение угла A: уголA 1,11 рад. (63 20 ). 3) Для получения уравнения высоты СD приведем

уравнение стороны AB к виду общего уравнения прямой на плоскости

A2 B2

В нашем случае d CD 3 2 4 8 12 50 10.

32

4) Найдем координаты точки E, являющейся серединой отрезка BC

Т.о., E(3,1), и для нахождения уравнения медианы AE можно использовать уравнение прямой, проходящей через две точки

B

Рис. 1

33

Задача №4

Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от прямой x 2 и от точки A(4;0) . Сделать чертеж.

Решение. Пусть точка M(x;y) принадлежит искомой линии. Расстояние между точками M1(x1,y1) и M2(x2,y2) вычисляется по формуле

M1M2 (x2 x1)2 (y2 y1)2 .

По условию задачи

Расстояние от точки M0(x0; y0) до прямой Ax By C 0 d Ax0 By0 C .

A2 B2

Уравнение прямой x 2 0. Следовательно d x 2 . По условию задачи d AM , т.е.

x 2 (x 4)2 y2 .

Возведем обе части уравнения в квадрат. Приводя подобные члены, получим 4x y2 12 или y2 4(x 3). Это и есть уравнение искомого геометрического места точек. Следовательно, искомая линия является параболой.

y

y2=4(x-3)

Рис. 2

34