Учебное пособие 283

отклонения гипотезы H 0 .

Рассмотрим

проверку

гипотезы

о

нормаль

распределении

X

генеральной

совокупностиX .

Пусть

распределение

неизвестно, но

есть

основание

предположить,

что

X имеет

нормальное

распределение, т.е.

выдвигается

гипотеза H 0

о

нормальности

СВ

X .

Статистический

критерий, с

помощью которого

проверяется

статистики,

имеющие

таблицы

распределений,

подготовленные

заранее:

статистику

с

нормальным

нормированным распределением, статистику c2 и статистику

Фишера. Рассмотрим критерий согласия Пирсона(критерий

согласия c2 Пирсона, c 2 - «хи квадрат»).

Пусть для X получена

выборка объемаn ,

заданная в

виде статистического ряда с равноотстоящими вариантами:

хi

х1

х2

…

хm

ni

n1

n2

…

nm

Найдем

по

данным

выборке

величиныxB

и

s B .

Предполагая,

что

X

имеет

нормальное

распределение,

вычислим величины

n¢i :

n ×h

æ xi -

ö

1

n¢i =

xB

j(u) =

×e

-u2/2

,

×j ç

÷,

s B

s B

2p

è

ø

называемые теоретическими частотами, в противоположность

чему ni

здесь называют эмпирическими частотами.

В качестве статистики q выбирают СВ c 2 :

s

2

- n¢i ) .

c 2 = å(ni

i=1

n¢i

Она

подчиняется

распределению c 2

с

числом

степеней

свободы

v = s - r -1 ,

где

s - число различных значений xi ;

r - число параметров, от которых зависит распределение. Для

нормального закона

таких параметров два:

a =

= M ( X )

и

xB

s = s =

DB ×

n

, т.е.

r = 2 ,

и v = s - 3 . Если эмпирическое и

n

-1

теоретическое

распределение

совпадают, то

c 2 = 0 .

По

данному уровню значимости а и числу степеней свободы v

в

таблице

распределения c2

находят

критическое

значение

c2 крит.

и

определяют

критическую

:

обл

c2 < c2 крит., w

0

=

{

c 2

: c 2 ³ c 2крит. .

Затем

вычисляют

}

наблюдаемое значение c2 ,

т.е.

c 2

набл. по формуле

s

2

c2

набл.

= å(ni - n¢i ) .

i=1

n¢i

Если

окажется,

что

c2 набл. < c2 крит. ,

то

нулевую гипотезу

H 0 о

том,

что

X

имеет

нормальное

распределение,

принимают. В этом случае опытные данные выборки хорошо

согласуются

с

гипотезой

о

нормальном

распределении

генеральной совокупности.

Пример 6. При

уровне a = 0, 05

проверить гипотезу о

нормальном распределении генеральной совокупности, если

известны эмпирические и теоретические частоты:

ni

6

12

16

40

13

8

5

n¢i

4

11

15

43

15

6

6

a = 0, 05

и

числу

степеней

свободы4

находим

c 2 крит. =9,5.

Вычислим c 2

набл. , для чего составим расчетную таблицу.

1

2

3

4

5

6

i

ni

n¢i

ni - n¢i

(ni - n¢i)2

(ni - n¢i)2

n¢i

1

6

4

2

4

1

2

12

11

1

1

0,09

3

16

15

1

1

0,061

4

40

43

-3

9

0,21

5

13

15

-2

4

0,27

6

8

6

2

4

0,7

7

5

6

-1

1

0,17

c2 набл. = 2, 5

Так

как c2 набл. < c2крит. то

нулевая гипотеза

о

xi

1,6

3,0

4,4

5,8

7,2

6,6

10,0

ni

3

7

15

35

22

13

5

Таблица 1

xi

ni

ui

niui

niui 2

ni (ui +1)2

1,6

3

-3

-9

27

12

3,0

7

-2

-14

28

7

4,4

15

-1

-15

16

0

5,8

35

0

0

0

35

7,2

22

1

22

22

88

8,6

13

2

26

52

117

10,

5

3

15

45

80

0

n = åni

åni ×ui = 2

åni ×ui2 =189

åni (ui +1)2 = 33

В качестве ложного нуля принимаем=5,8С

– варианта с

наибольшей

частотой 35.

Шаг

выборки

h = x2 - x1 = 3, 0 -1, 6 =1, 4 .

Тогда

условные

варианты

определяем по формуле ui =

xi -C

=

xi - 5,8

.

h

1, 4

Подсчитываем

условные вариантыui и

заполняем

все

åniui

2

M 1* =

25

M 2* =

åniui

189

=

= 0, 25;

=

=1,89.

n

100

100

n

Вычисляем выборочную среднюю:

= M 1 *×h + C = 0, 25 ×1, 4 + 5,8 = 6,15.

xB

Находим выборочную дисперсию:

é

2

ù

2

é

- (0, 25)

2

ù

2

= 3,58.

dB = ëM 2 * -(M1*)

û ×h

= ë1,89

û ×1, 4

Таблица 2

xi

ni

x -

=

xi

-xB

xi

-6,15

j (u i )

x

ui =

=

i B

¢

s

1,89

ni =74,07×j(ui )

=xi -6,15

B

1,6

3

-4,55

-2,41

0,0219

2

3,0

7

-3,15

-1,67

0,0989

7

4,4

15

-1,75

-0,92

0,2613

19

5,8

35

-0,35

-0,18

0,3925

30

7,2

22

1,05

0,56

0,3410

25

8,6

13

2,45

1,30

0,1714

13

10,0

5

3,58

2,04

0,0498

4

100

n = ån¢i =100

Функция j (ui ) четная, т.е.

j(-ui) = j(ui) .

Значения функции j (ui ) в

зависимости от аргументаui

(берутся положительные ui ,

т.к. функция j (ui ) четная)

И заполняем последний столбец. Отметим, что в последнем

столбце

частоты n¢i

округляются

до

целого

числа

и

Таблица 3

ni

n¢i

ni - n¢i

(ni - n¢i)2

(ni - n¢i)2

ni 2

ni 2

¢

n¢i

n i

1

2

3

4

5

6

7

3

2

1

1

0,5

9

4,5

7

7

0

0

0

49

7

15

19

-4

16

0,84

225

11,84

35

30

5

25

0,83

1225

40,83

22

25

3

9

0,36

484

19,36

13

13

0

0

0

169

13

5

4

1

1

0,25

25

6,25

100

100

c 2набл. = 2, 78

102,78

уровню значимости a = 0, 05

и числу степеней свободы v =4

находим c2 кр =9,5.

Так как c2

набл. < c2кр. , то нет оснований отвергать нулевую

гипотезу. Другими словами,

расхождение эмпирических и

теоретических частот незначимое. Следовательно,

данные

наблюдений

согласуются

с

гипотезой

о

нормальности

распределения генеральной совокупности.

4. Найдем

доверительный

интервал

для

оценки

неизвестного MO M(X), полагая что

X

имеет

нормальное

распределение,

среднее

квадратическое

отклонение

s = s X = s B =1,89 и доверительная вероятность g = 0,95 .

Известен объем выборки:

n = 100 , выборочная средняя

= 6,15 .

xB

Из соотношения 2F(t) = g

получим F(t) = 0, 475 .

По

таблице находим параметр t =1, 96 .

Найдем точность оценки

d =

ts

=

1, 96 ×1,89

= 0,37 .

n

100

Доверительный интервал таков:

-d < M (X ) <

+ d

xB

xB

или 6,15 - 0,37 < M ( X ) < 6,15 + 0,37 Û 5, 78 < M ( X ) < 6,52 .

Надежность

g = 0,95

указывает,

что

если

произведено

4. Элементы теории корреляции

Корреляционный

анализ – широко

известный

и

эффективный

метод

статистики, позволяющий

по