Учебное пособие 198
.pdf4.2.Содержание разделов дисциплины, изучаемых |
в |
третьем семестре |
|
Раздел 6. Функциональные ряды, ряды Фурье и преобразования Фурье (16ч).
Лекция 55. Основные понятия теории функциональных рядов. Равномерная сходимость функционального ряда.
Лекция 56. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость суммы функционального ряда.
Лекция 57. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость суммы степенного ряда. Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений.
Лекция 58. Ряды Тейлора. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора Применение рядов Тейлора в приближенных вычислениях.
Лекция 59. Основные задачи гармонического анализа. Ортогональные системы функций. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье для функций с периодом 2 .
Лекция 60. Ряд Фурье для функций с произвольным периодом. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Признаки сходимости рядов Фурье .
Лекция 61. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Комплексные ряды Фурье.
8
62. Интеграл Фурье, преобразование Фурье и его свойства .
Раздел 7. Основные понятия теории функций комплексной переменной и операционное исчисление (20 ч)
Лекция 63. Комплексные функции комплексной переменной. Предел и непрерывность. Числовые ряды с комплексными членами.
Лекция 64 . Степенные ряды с комплексными членами. Ряд Тейлора. Показательная и логарифмическая функции. Тригонометрические функции
Лекция 65. Производная. Условия Коши-Римана (Да- ламбера-Эйлера) дифференцируемости функций комплексной переменной. Гармонические функции и их связь с аналитическими функциями. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
Лекция 66. Интегралы от комплекснозначных функций действительной и комплексной переменной. Простейшие свойства.
Лекция 67. Теорема Коши. Интегральная формула Коши для простого и сложного контура.
Лекция 68. Ряд Тейлора. Нули аналитической функции. Ряд Лорана. Классификация особых точек. Разложение функции в ряд Лорана.
Лекция 69. Теория вычетов. Вычет относительно полюса. Теорема Коши о вычетах.
Лекция 70. Вычисление вычетов. Применение вычетов при вычислении интегралов .
Лекция 71. Преобразование Лапласа, его свойства. Изображение оригиналов (t) и eat .Свойства: линейность, од-
9
нородность, смещение, запаздывание. Дифференцирование оригиналов и изображений. Интегрирование оригиналов и изображений. Свертка.
|
Лекция 72. Нахождение оригиналов по изображе- |
||
нию. |
Применение операционного исчисления |
к решению |
|
дифференциальных |
уравнений и систем дифференциальных |
||
уравнений. |
|
|
|
|
Самостоятельное изучение. Применение |
рядов Фурье |
|
в прикладных задачах |
. |
|
|
Рекомендуемая литература
а) основная литература:
1. Кудрявцев. Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. М., 1987.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. М., 2001. Т.1.2.3.
3.Зорич В.А. Математический анализ / В.А. Зорич. М:. МЦНМО, 2002 г.
4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2: Учебное пособие для втузов. – М: Наука, 2001. – 560 с.
б) дополнительная литература:
1.Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа /под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М., 1987. Ч.I и II.
2.Ильин В.А. Основы математического анализа / В.А.
Ильин, Э.Г., Позняк М., 1980. Ч.1,2.
3.Данко Л.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / Л.Е. Данко, А.П. Попов М., 1986. Ч. I и II.
10
4.Шипачев В.С. Высшая математика. М.: «Высшая школа», 2002.
5.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1988. – 432 с.
6.Бугров Я.С. Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1989. – 464 с.
7.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Учеб. пособие. – СПб.: Профессия, 2007. – 432 с.
8. Мантуров О.В. Курс высшей математики. Ряды. Уравнения математической физики. Теория функций комплексной переменной. Численные методы. Теория вероятно-
стей. М. 1991.
9.Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: Учебное пособие для втузов / Под ред. А.В.Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.:
Наука, 1986. – 368 с.
10.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1968. – 416 с.
11.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981. – 304 с.
12.Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа/ Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. М. 1987. Ч. II, III, IV.
11
в) методическая литература:
.
1. Методические указания к решению прикладных задач / сост. Е.Г. Глушко, А.П. Дубровская, Е.Н. Провоторова.
2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. – СПб: Лань, 2007 – 240 с.
3.Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. Типовые расчеты. – СПб: Лань, 2007. – 192 с.
4.Методические указания. Сборник типовых заданий по курсу «Математический анализ» для студентов спец. 090102 «Компьютерная безопасность», 090105 « Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», очной формы обучения. ВГТУ, 2010.сост. И.Л.Батаронов, Е.Г. Глушко, А.П. Дубровская, Е.Н. Провоторова
5.Контрольные мероприятия.
Четкая организация изучения дисциплины «Математический анализ» основана на правильном сочетании аудиторных учебных занятий, продуктивной самостоятельной работе студентов и систематическом контроле, играет основополагающую роль в глубоком математическом образовании современного студента. Исходя из этих принципов, рекомендуются следующие контрольные мероприятия, обеспечивающие систематическую работу студентов и ее контроль в течение семестра и, в совокупности, охватывающие почти весь материал этой дисциплины.
12
IIIсеместр
1.Контрольная работа № 1 « Функциональные ряды» (7-ая неделя).
2.Типовой расчет № 1 «Ряды Фурье » (10-ая неделя ). Методические указания. Сборник типовых заданий по курсу «Математический анализ» для студентов спец. 090102 «Компьютерная безопасность», 090105 « Комплексное обеспечение инфор-
мационной безопасности автоматизированных систем», очной формы обучения. ВГТУ, 2010. Сост. И.Л.Батаронов, Е.Г. Глушко, А.П. Дубровская, Е.Н. Провоторова.
3.Коллоквиум «Функциональные ряды и ряды Фурье » (12ая неделя).
4.Контрольная работа № 2 « Комплексный анализ» (16-ая неделя).
5. Типовой расчет № 2 « Операционное исчисление» (выдача 13-ая неделя, прием 15 неделя).
Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. Типовые расчеты / В.Ф. Чудесенко. М., 1995.
6.Защита курсовых работ (16-17 неделя).
7.Экзамен.
6. Рекомендации по самостоятельному изучению разделов курса
Тема. Применение рядов Фурье в прикладных за-
дачах
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г.М. Фихтенгольц. М., 2001. Т.3. Гл.ХIХ п. 7.
2. . Методические указания к решению прикладных задач / сост. Е.Г. Глушко, А.П. Дубровская, Е.Н. Провоторова.
13
3. Бугров Я.С. Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1989. – 464
с. Гл.5 ,п.5.6.
7. Задания для подготовки к контрольной работе №1
1. |
|
Найти область сходимости ряда: |
||
|
|
|
|
|
1. |
n 5 xn 1 ; |
2. n 5 x2n ; |
||
|
|
n 1 |
|
n 0 |
|
|
|
|
|
3. |
n 4 xn 1 ; |
4. n 4 x3n ; |
||
|
|
n 1 |
|
n 0 |
|
|
|
|
|
5. |
n 3 xn 1 ; |
6. n 3 x4n ; |
||
|
|
n 1 |
|
n 0 |
|
|
|
|
|
7. |
n 2 xn 1 ; |
8. n 2 x5n ; |
||
|
|
n 1 |
|
n 0 |
|
|
|
|
|
9. |
n 1 xn 1 ; |
10. n 1 x6n . |
||
|
|
n 1 |
n 0 |
|
2. |
|
Разложить функцию по степеням x: |
||
11. |
f x ex ; |
12. |
f x e2x ; |
|
13. |
f x 3ex ; |
14. |
f x lnx; |
|
15. |
f x ln x 1 ; |
16 f x ln 3x 1 . |
||
14
3. |
Разложить функцию по степеням x 1: |
||
17. |
f x ex ; |
18. |
f x e2x ; |
19. |
f x 3ex ; |
20. |
f x lnx; |
21. |
f x ln x 1 ; |
22. f x ln 3x 1 . |
|
8. Вопросы для подготовки к коллоквиуму.
1.Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов.
2.Мажорируемость и равномерная сходимость ряда. Свойства мажорируемых рядов
3.Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости.
1.Свойства степенных рядов.
2.Ряды Тейлора. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора.
3.Разложение элементарных функций в ряды Тейлора .
4.Применение рядов Тейлора в приближенных вычислениях.
5.функции. Гармонические колебания.
6.Гильбертовы пространства. Ортогональные системы функций и ряд Фурье в гильбертовом пространстве.
7.Тригонометрическая система функций. Коэффициенты Фу-
рье и тригонометрический ряд Фурье. Теорема о единст венности разложения функций в ряд Фурье.
8.Условие сходимости ряда Фурье. Неравенство Бесселя .
9.Основные виды сходимости классических рядов Фурье.
Признаки сходимости рядов Фурье.
15
10.Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
11.Ряд Фурье для функций, заданных на произвольном промежутке.
12. |
Представление непериодическихфункций рядом Фурье. |
13. |
Ряд Фурье в комплексной форме. |
14 |
Интеграл Фурье, преобразование Фурье и его свойства. |
15. |
Интеграл и преобразования Фурье в комплексной форме. |
|
Примеры отыскания спектральных характеристик. |
9. Примеры практических заданий для подготовки к коллоквиуму
1.Разложить в ряд Маклорена функцию
f x xln 1 x2
2.Разложить в ряд Маклорена функцию
fx sin x arctg x
x2
3.Найти область сходимости степенного ряда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
1. n 1 3 x2n 1 ; |
x 2 . |
||||||||||||
2. 1 n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
n 4 |
|
|||
|
x 1 n |
|
|
3 |
|
|
|
||||||
3. |
|
|
4. n 2 |
x2n |
|||||||||
5 |
n 1 |
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
||||
16
4. Вычислить приближенно и оценить погрешность
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
||
1) 3 |
|
. |
2) ln 1 x2 dx. |
||
5 |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
5. Разложить в ряд Фурье функцию |
f (x) 3x на |
||||
[0, ] по косинусам.
10. Задания для подготовки к контрольной работе №2
1. Найти аналитическую функцию (z)по ее мнимой части
v(x, y) y |
y |
, f (1) 2. |
|
x2 y2 |
|||
|
|
2. Найти особые точки, определить их характер, найти вычеты
|
f (z) |
cos z |
. |
|
|
||
|
|
z(1 ez ) |
|
3.Вычислить |
интеграл |
||
C : z 2, arg z 0. 4
4. Вычислить интеграл
zdz
z i 1 z3 1.
|
zRez |
dz , |
где |
|
|
||||
C |
z |
|
|
|
17