Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 190

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

320.53 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

РАСЧЕТ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛИТЫ

Методические указания к выполнению расчетной работы и контрольной задачи

для студентов дневной и заочной форм обучения специальности ПГС по курсу "Прикладная механика"

Воронеж 2011

УДК 539.3:624 ББК 30.121

Составители А.Н. Синозерский, А.В. Резунов, Е.И. Осипова

Расчет прямоугольной плиты: метод. указания к расчетной работе и контрольной задаче по курса «Прикладная механика» для студ. дневной и заочной форм обучения спец. ПГС / Воронежский ГАСУ; сост.: А.Н. Синозерский, А.В. Резунов, Е.И. Осипова. – Воронеж, 2010. – 21 с.

Приведены гипотезы и методика исследования перемещений, усилий и напряжений тонких плит. Даются указания по определению прогибов, изгибающих и крутящих моментов, поперечных сил, нормальных и касательных напряжений в прямоугольной плите, пример и решение этой же задачи на ПЭВМ с использованием популярного математического пакета Mathcad.

Предназначены для студентов специальности ПГС дневной и заочной форм обучения.

Ил. 6. Библиогр.: 4 назв.

УДК 539.3:624 ББК 30.121

Печатается по решениюредакционно-издательского совета Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

Рецензент – В.Д. Коробкин, доктор. техн. наук, проф. кафедры теоретической механики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

ВВЕДЕНИЕ

Призматическое или цилиндрическое тело (рис. 1), толщина которого h мала по сравнению с другими габаритными размерами (a, b), называется

пластиной [1,2].

h/2 h/2

Рис. 1

Они применяются в строительстве, авиации, машиностроении, судостроении и т. д. При этом легкость и рациональность форм тонкостенных конструкций сочетаются с их высокой несущей способностью, экономичностью и хорошей технологичностью.

Взависимости от формы основания призмы или цилиндра различают круглые, эллиптические, квадратные, прямоугольные, треугольные и т. п. пластины.

Плоскость, делящая пластину пополам по толщине, называется срединной плоскостью, а линия пересечения её с боковыми гранями – контуром.

Встроительной практике пластины, подвергающиеся изгибу, именуются плитами [3]. Наиболее распространены рассматриваемые в дальнейшем прямоугольные плиты (с прямоугольным контуром и h=const).

1. Допущения

Оси x, y декартовой прямоугольной системы координат расположим в срединной плоскости, ось z направим вниз (рис. 1). Материал плиты будем считать сплошным, однородным, изотропным и подчиняющимся закону Гука с модулем упругости E и коэффициентом Пуассона .

Под действием, например, распределенной по площади нагрузки ин-

тенсивности q (кН/м2) точки срединной плоскости получают вертикальные перемещения – прогибы w. Геометрическое место этих точек образует срединную поверхность изогнутой плиты (рис. 2).

Существенное влияние на свойства плиты оказывает толщина h. В дальнейшем рассматриваются только тонкие плиты, для которых выполняются условия

1	h	1	,	(1)
80	h	5	,	(1)
80	r	5
max w h			,	(2)
		4

где r – наименьший габаритный размер, max w – наибольший прогиб.

Помимо изложенных выше ограничений теория расчета тонких плит основана на трех гипотезах (допущениях).

	0	Срединная плоскость
	0
					x
			c
w		z	.		h/2
w		z	d	c1
		w	.	c1
			d1	h	b
			d1		b

Срединная поверхность

Рис. 2

Кинематическая гипотеза: любой линейный элемент (cd на рис. 2), нормальный к срединной плоскости, остаётся прямолинейным и перпендику-

лярным к срединной поверхности и длина его не изменяется (c1d1=cd=h). Следовательно, отсутствуют угловые и линейные в направлении оси z деформации

xz yz 0,	(3)
z 0.	(4)

Так как z w / z, то прогиб является функцией только двух переменных

w=w(x,y).

(5)

Статическая гипотеза: давлением горизонтальных слоёв плиты друг на друга можно пренебречь, полагая

z 0.

(6)

Тогда в соответствии с обобщённым законом Гука линейные деформации по осям x, y будут определяться по формулам

	x	(	x	y	) / E,
	x		x	y		(7)
						(7)
y ( y x ) / E.

Гипотеза о недеформируемости срединной плоскости: деформации растяжения, сжатия ( x , y ) и сдвига ( xy ) в срединной плоскости отсутствуют, а следовательно она является нейтральной. Для точек срединной плоскости перемещения по осям x, y равны нулю

u0 v0 0.

(8)

На видимых гранях элемента (рис. 3) плиты размерами x y 1 и толщиной h показаны напряжения и погонные (приходящиеся на единицу длины плиты) внутренние усилия, которые следует учитывать при расчёте тонких плит.

		x=1
	0
y=1		Mxy
		Mxy
	z
	Myx	Qxz
		σx
		τyx
	Qyz	τxyτxz
Myy	Qyz	τyz
y	σy

z h/2

dz Mxx

Рис. 3

x , y – нормальные напряжения, xy , yx – касательные напряжения; Qxz , Qyz – внутренние погонные поперечные силы;

Mxy , Myx – внутренние погонные изгибающие моменты; Mxx , Myy – внутренние погонные крутящие моменты

2. Методика расчета

Решение задачи по определению перемещений, деформаций, усилий и напряжений обычно выполняют в перемещениях. За основную неизвестную

принимают функцию прогибов w=w(x,y) [1,2].

Рассматривая условия для сдвигов (3), из соотношений Коши с учётом

(8) получают перемещения

u z wx ,

w (9) v z y .

Подставляя в зависимости Коши перемещения (9), находят отличные от нуля деформации

(10)

2 z

x y

Далее с помощью закона Гука в обратной форме с учётом равенства (6) получают напряжения x , y , xy в виде функций упругих постоянных E,

и прогиба w(x,y). Пренебрегая объёмными силами и учитывая отсутствие касательных нагрузок на верхней и нижней поверхностях плиты, из дифферен-

циальных уравнений равновесия устанавливают зависимости xz , yz от E, ,

w(x,y), h.

Рассматривая элементарные внутренние усилия, действующие на площадке толщиной dz и единичной ширины (рис. 3), и интегрируя эти усилия по толщине плиты, приходят к следующим выражениям для погонных

изгибающих моментов:

Mxy

(11)

Myx

;

крутящих моментов:

Mxx Myy D 1

;

(12)

x y

поперечных сил: Qxz D

2 w

, Qyz D

2 w ,

(13)

где D – цилиндрическая жёсткость плиты:

E h3

;

(14)

12 1 2

2 w

;

(15)

E и – модуль упругости и коэффициент Пуассона, h – толщина плиты. Выражения для напряжений через внутренние усилия (11)–(13) имеют

следующий вид:

12 Mxy z

, y

12 Myx z

;

12 Mxx z

, yx

12 Myy z

;

12 Q

где

- статический момент

части

сечения

высотой

x y 1 (рис. 4,в).

(16)

(17)

(18)

(19)

0.5 h z и шириной

Эпюры нормальных x , y , касательных xy , yx и xz , yz напряжений представлены на рис. 4, а, б и в.

y=1
	Mxy		Mxx
h/2	Myx				Qxz
	Myx				Qxz
h/2				Qyz	ω
					ω
	y
	σx	τxy	ω		τxy
	σy	τyz		τyz
	а)	б)		в)

Рис. 4

Рассматривая равновесие элемента плиты размерами в плане dx, dy под действием распределённой нагрузки q после преобразований придём, к диф-

ференциальному уравнению срединной поверхности плиты

4w	2	4 w		4w	q	.	(20)
x4		x2	y4	y4	D

Уравнение (20) называется разрешающим, а функция прогибов w(x,y), которая удовлетворяет уравнению (20) и условиям на контуре плиты, – раз-

решающей функцией.

Сформулируем граничные условия для различных случаев закрепления контура прямоугольной плиты (рис. 5).

y=0	x
b
z	x=a
x=0	x=a

y=b

Рис. 5

Защемленный край (геометрические условия): при x=0 невозможны прогиб и поворот сечения относительно оси x, т. е. заданы перемещения

w(0,y) 0 и w(0,y)/ x 0.	(21)
Свободный край (статические условия): при y=b=const отсутствуют
поперечная сила Qyz , крутящий Mxx и изгибающий Myx	моменты, т. е. зада-

ны усилия. Вместо необходимых двух имеем три условия, что объясняется приближенностью используемых при решении допущений. Противоречие устраняют, заменив первые два условия требованием равенства нулю обобщённой поперечной силы. В итоге на свободном крае получают следующие условия:

3w x,b		2		3w x,b
								0,
y	3				x	2	y	0,
y					x		y		(22)
2w x,b			2w x,b						(22)
2w x,b			2w x,b				0.
y	2		x		2		0.
y			x

Шарнирно опёртые края (смешанные условия): при y=0 или x=a=const прогибы и изгибающие моменты Myx или Mxy равны нулю, т. е.

заданы часть перемещений и усилий. Линии y и x a остаются неизо-

гнутыми, поэтому w(x,0) / x 2 w(x,0) / x2 0

и w(a, y) / y 2 w(a, y) / y2 0, что с учётом (11) приводит к соотношениям

w(x,0) 0	и 2w(x,0)/ y2				0,
или						(23)
или						(23)
w(a,y) 0	и	2	w(a,y)/ x	2
w(a,y) 0	и		w(a,y)/ x		0.

После того как функция прогибов w(x, y) будет найдена (удовлетворя-

ет уравнению (20) и граничным условиям) все остальные величины вычис-

ляют из выражений (9) – (13) и (16) – (19).

3. Задание

Объектом исследования является нагруженная по верхней поверхности равномерно распределённой поперечной нагрузкой интенсивностью q прямоугольная в плане, шарнирно опёртая по контуру плита со сторонами a, b и толщинойh (рис. 6), модулемупругостиE икоэффициентомПуассонаνматериала.