Методическое пособие 630
.pdfрующие. Приборы также классифицируют по точности измерений, стабильности показаний, чувствительности, пределам измерения и др.
Измерительная установка (стенд) представляет собой систему, состоящую из основных и вспомогательных средств измерений, предназначенных для измерения одной или нескольких величин. Установки включают в себя различные средства измерений и преобразователи, предназначенные для одноили многоступенчатого преобразования сигнала до такого уровня, чтобы можно было зафиксировать его измерительным механизмом.
Измерительные установки могут вырабатывать также сигналы, удобные для автоматической обработки результатов измерений.
Измерительные приборы (отсчетные устройства) характеризуются:
величиной погрешности; точностью; стабильностью измерений; чувствительностью.
Погрешности приборов бывают абсолютными и относительными.
Под абсолютной погрешностью измерительного прибора принимается величина
b xИ xД ,
где xИ - показания прибора (номинальное значение измеряемой величины);
xД - действительное значение измеренной величины, полу-
ченное более точным методом.
Погрешность средства измерения - одна из важнейших его характеристик. Она возникает вследствие недоброкачественных материалов, комплектующих изделий, применяемых для приготовления приборов; плохого качества изготовления
111
приборов; неудовлетворительной эксплуатации и др. Существенное влияние оказывают градуировка шкалы и
периодическая поверка приборов. Кроме этих систематических погрешностей возникают случайные, обусловленные сочетаниями случайных факторов - ошибками отсчета, параллаксом, вариацией и т.д.
Таким образом, необходимо рассматривать не какие-либо отдельные, а суммарные погрешности приборов.
Относительная погрешность определяется отношением
bОТН xИ xД 100% .
xД
Суммарные погрешности, установленные при нормальных условиях (tВ 20 ; влажность воздуха 80%; p 1.01325 105 H
м2 ), называют основными погрешностями прибора.
Диапазоном измерений называют ту часть диапазона показаний прибора, для которой установлены погрешности прибора (если известны погрешности прибора, то диапазон измерений и показаний прибора совпадает).
Размахом называют разность между максимальным и минимальным показаниями прибора. Если эта величина непостоянная, т.е. если при обратном ходе имеется увеличение или уменьшение хода, то эту разность называют вариацией показаний W .
Величина W – это простейшая характеристика погрешности прибора.
Другой характеристикой прибора является его чувствительность, т.е. способность отсчитывающего устройства реагировать на изменения измеряемой величины.
Под порогом чувствительности прибора понимают наименьшее значение измеренной величины, вызывающее изменение показания прибора, которое можно зафиксировать.
Основной характеристикой прибора является его точность. Она характеризуется суммарной погрешностью.
112
Средства измерения делятся на классы точности.
Класс точности – это обобщенная характеристика, определяемая пределами основной и дополнительных допускаемых погрешностей, влияющих на точность.
Стабильность (воспроизводимость прибора) – это свой-
ство отсчетного устройства обеспечивать постоянство показаний одной и той же величины. Со временем в результате старения материалов стабильность показаний приборов нарушается.
Стабильность прибора определяется вариацией показания. Поэтому при установлении стабильности нормируют величину допускаемой вариации WД . Поскольку вариация при-
нимается с одним знаком, а допускаемая погрешность имеет положительные или отрицательные значения, то:
WД 0.5 bД ,
где bД - допустимая относительная погрешность прибора.
Все средства измерения (приборы, используемые для измерения в научных исследованиях) проходят периодическую поверку на точность. Такая поверка предусматривает определение и по возможности уменьшение погрешностей приборов.
Поверка позволяет установить соответствие данного прибора регламентированной степени точности и определяет возможность его применения для данных измерений, т.е. определяются погрешности и устанавливается, не выходят ли они за пределы допускаемых значений.
Поверку средств измерений производят на различных уровнях - от специальных государственных организаций до низовых звеньев. Государственные метрологические институты и лаборатории по надзору за стандартами и измерительной техникой производят государственный контроль за обеспечением в стране единства мер.
На высокоточные измерительные средства государственные метрологические организации выдают специальное свидетельство, в котором после поверки указывают номинальные значения измеряемой величины, класс точности, предельную
113
допускаемую погрешность, результаты поверки погрешности прибора в виде таблиц, вариации измерений. Для приборов меньшей ответственности свидетельство может не выдаваться и заменяться лишь указанием о том, что прибор удовлетворяет требованиям стандарта или инструкции. Вместо инструкции прибор (или футляр) снабжают клеймом поверки.
Таким образом, метрологическое обеспечение научных исследований и особенно обеспечение единства измерений и однообразия средств измерения является важнейшим фактором успешного проведения научных исследований. Без успешного развития метрологии невозможен прогресс в развитии пауки и, наоборот, без успешного развития науки невозможен прогресс в метрологии.
Вопросы для повторения:
1.эксперимента. Что является основной задачей экспе-
римента?
2.Назовите основные виды научных экспериментов.
3.Какие виды работ должны предшествовать любому эксперименту?
4.Каким требованиям должны соответствовать результаты эксперимента?
5.Поясните основные концепции научного планирова-
ния
6.Назовите основные этапы вычислительного экспери-
мента.
7.Поясните роль метрологии при проведении экспери-
мента.
8.Как разделяются средства измерения по точности?
9.В каких случаях применяют косвенные, а в каких непосредственные методы измерения?
10.Какие средства измерения могут применяться в ходе эксперимента?
114
Лекция 8. РАЦИОНАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Учебные вопросы:
1. Рациональное планирование эксперимента.
1. Рациональное планирование эксперимента
Основные понятия. Традиционный экспериментальный метод исследования [3] заключается в установлении зависимости при изменении одного фактора и постоянстве остальных (однофакторный эксперимент). Этот метод обладает рядом существенных недостатков. Основным из них является не всегда корректное допущение о возможности стабилизации всех переменных исследуемого объекта при последовательном изучении каждого из них. Кроме того, такой подход обладает исключительной трудоемкостью. Более рационально планировать эксперимент с использованием методов математической статистики и теории вероятностей.
Под планированием экспериментальных исследований понимают математическое обоснование количества изучаемых проб (точек, объектов), последовательности измерений, числа влияющих факторов и уравнений их рассмотрения в зависимости от поставленной задачи с целью достижения максимальной информативности эксперимента, достоверности данных и получаемых зависимостей при минимальных затратах труда. Таким образом, рациональное планирование эксперимента преследует следующую основную цель: как провести эксперимент с минимальной трудоемкостью и наименьшим количеством измерений, получая при этом максимум достоверной информации.
В основу планирования эксперимента Р.А. Фишером (в 1925 году) был положен метод дисперсионного анализа и использование так называемого латинского квадрата. В наше время теория рационального планирования эксперимента включает несколько направлений, среди которых можно выделить:
115
–планирование многофакторного эксперимента на основе дисперсионного анализа;
–планирование экстремальных экспериментов;
–планирование отсеивающих экспериментов;
–планирование многофункциональных экспериментов на основе регрессионного анализа.
Методы рационального планирования эксперимента позволяют одновременно изучить влияние на исследуемый объект ряда факторов (многофакторный эксперимент). Они основаны на математической теории, которая определяет оптимальные условия эксперимента, в том числе и при неполном значении физической сущности явления. Для этого математические методы используют не только на стадии обработки результатов измерений, но также при подготовке и проведении опытов. Это позволяет с помощью эксперимента исследовать и оптимизировать сложные процессы и системы, обеспечивая высокую эффективность и точность определения исследуемых факторов.
При планировании экспериментальных исследований обычно предусматривается решение таких вопросов:
–определение величины и количества интервалов между экспериментальными точками;
–установление числа опытов при фиксированных параметрах на различных участках области изменения независимых переменных;
–разработку плана и последовательности проведения
опытов.
Решение этих задач часто усложняется необходимостью учета ряда специфичных обстоятельств, связанных с используемой техникой, с сущностью явления и глубиной его изучения,
среальными возможностями постановки и проведения опытов. Однако в настоящее время установлены некоторые общие положения, которые необходимо соблюдать при рациональном планировании экспериментальных исследований. Так, например, теория математического планирования эксперимента основывается на ряде концепций, которые обеспечивают успешную реализацию задач исследования. К ним относятся концеп-
116
ции рандомизации, последовательного проведения эксперимента, математического моделирования, оптимального использования факторного пространства и ряд других.
Принцип рандомизации заключается в том, что в план эксперимента вводят элемент случайности. Для этого эксперимент составляют так, чтобы факторы, трудно поддающиеся контролю, учитывать статистически и исключать как систематические ошибки.
При последовательном проведении эксперимента его вы-
полняют поэтапно, а результаты каждого этапа анализируют и принимают решение о целесообразности проведения дальнейших исследований (рис. 8.1). В результате эксперимента получают уравнение регрессии, которое называют математической моделью процесса. Под моделью понимают не абсолютно точное описание явления (подобно закону), а приближенное выражение, которое удовлетворительно характеризует явление в некоторой локальной области факторного пространства. Для описания одного и того же явления можно предложить несколько моделей, оценка которых производится по критерию Фишера. Так как степень полинома, адекватно описывающего процесс, предсказать невозможно, то сначала пытаются описать явление линейной моделью, а затем (если она неадекватна) повышают степень полинома, т.е. проводят эксперимент поэтапно.
Оптимальное использование факторного пространства
заключается в том, что состояние объекта в каждом опыте определяется по результату одновременного оптимального варьирования n – факторов в m – мерном пространстве. Это позволяет добиться значительного увеличения точности расчета коэффициентов полученной модели и уменьшения трудоемкости эксперимента.
Классические и факторные планы проведения экспери-
ментальных исследований. При планировании экспериментальных исследований, прежде всего, необходимо установить число независимых переменных, влияющих на изучаемый параметр. Обычно число независимых переменных равно 3, 4, 5 и
117
более. Планирование таких многофакторных экспериментов осуществляется с использованием классических и факторных планов.
Классический план можно считать универсальным, так как его применяют при любых экспериментальных исследованиях. Факторный план является более точным и менее трудоемким, однако он ограничивается изучением определенных процессов и явлений, поэтому имеет ограниченное применение.
Рис. 8.1. Структурная схема эксперимента с целью оптимизации исследуемого процесса
Рассмотрим подробнее эти планы. При классическом планировании эксперимента все независимые переменные, кроме одной, например Х, фиксируются, а переменная Х варьи-
118
руется во всем диапазоне изменения. Затем задаются новые значения независимым переменным Y, Z, и вновь варьируется Х и т.д. Если число интервалов равно ρ, то в этом случае необходимо сделать опыты на k; p уровнях (здесь k – число опытов при всех фиксированных параметрах на одном уровне).
Если известно, что зависимая переменная W является той или иной функцией независимых переменных, то объем экспе-
римента удается немного сократить. Например, если: |
|
W=a×X n +b×Y k +c×Zm , |
(8.1) |
то можно сделать три группы исследований: в первой фиксируют какую-нибудь пару значений Y и Z, изменяя Х во всем интервале, что позволяет определить константы а и n; во второй – фиксируют какие-либо значения Х и Z, изменяя Y во всем диапазоне, что позволяет установить b и k, в третьем – фиксируют какие-либо значения Х и Y, изменяя Z во всем интервале, и определяя с и m.
Факторные планы применяют тогда, когда независимая
функция W имеет вид: |
|
W= f1(X )+ f2 (Y)+ f3(Z) ; |
(8.2) |
W=Ф1(X)×Ф2(Y)×Ф3(Z) . |
(8.3) |
В последнем случае путем логарифмирования выражения |
|
(8.3) можно получить: |
|
lnW=lnФ1(X)+lnФ2 (Y)+lnФ3 (Z) . |
(8.4) |
Вводя обозначения ξ= lnW; φ1(х)= lnФ1(X ); φ2(Y)= lnФ2 |
|
(Y); φ3(Z)= lnФ3(Z), получим: |
|
ξ= φ1 (X)+ φ2 (Y)+ φ3 (Z). |
(8.5) |
Планирование многофакторного эксперимента. Обыч-
но вторичный (функциональный) фактор является зависимым не от одного, а от нескольких факторов (аргументов). Чтобы выявить влияние каждого из них, необходимо задать ему не менее 4…5 различных значений.
Однако при этом для полного исследования взаимного влияния нескольких факторов на один и тот же вторичный фак-
119
тор будет необходимо очень большое число опытов. Например, для полного исследования четырех факторов, принимающих по 5 значений, необходимо провести 54 = 625 комбинаций опытов, не учитывая их повторения в идентичных условиях.
Такое большое количество экспериментов очень сложно провести, поэтому число опытов обычно сокращают за счет исследования лишь части наиболее существенных факторов; уменьшения количества значений и уровней каждого из факторов; исследования влияния каждого из факторов лишь при некоторых частных значениях других факторов.
Рассмотренный ранее пример однофакторного эксперимента включает в себя все возможные уровни факторов в диапазоне их изменения. Такой эксперимент называется полным факторным экспериментом. Число попыток при таком эксперименте равняется произведению уровней всех факторов (для трехфакторного – 53 = 125). Поэтому при большом числе факторов уместен дробный факторный эксперимент, при котором ряд сочетаний уровней пропускается, в результате чего число попыток уменьшатся.
Если проводится двухфакторный эксперимент на пяти уровнях для обоих факторов, то число опытов составит 25. Все сочетания факторов можно изобразить в виде соответствующего квадрата, где латинскими буквами А и В обозначены факторы (рис. 8.2). Индекс при этих буквах обозначает уровень исследуемого фактора. Такие квадраты Фишер назвал латинскими.
Необходимо иметь в виду, что к факторам А и В можно добавить третий фактор С, не меняя числа попыток. Однако при этом не все сочетания А, В, С будут присутствовать в квадрате. Если разместить уровни фактора С так, чтобы в каждой стороне и столбце встречались все его уровни, то, усредняя данные по строкам и рядкам, будем иметь средние, постоянные значения фактора С, что не должно исказить влияние факторов А и В на изучаемый параметр (рис. 8.2,б).
Далее можно добавить к этому плану еще и четвертый фактор, чтобы в каждой строке и каждом столбце такого плана были бы все пять уровней третьего и следующих факторов и
120