Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симметрические матрицы – квадратные матрицы, у которых элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е. аij a ji . Транспонирование таких матриц не ме-

няет их вида, так что равенство

А АТ

также можно полагать определением симметрической матрицы.

1.3. Умножение матриц

Произведением АВ двух квадратных матриц А и В од-

ного порядка называется третья квадратная матрица С того же порядка, составленная по следующему правилу: элемент ckl , стоящий в матрице С на пересечении k-й строки с l-м

столбцом, есть сумма произведений элементов k строки матрицы А на соответствующие элементы l-го столбца матрицы

В:

10

Определение произведения можно распространить на неквадратные матрицы, у которых число столбцов матрицы множимого А равно числу строк матрицы множителя B . При соблюдении этого условия множимого А может иметь любое число (m) строк, а матрица В – любое число (n) столбцов. Матрица С = АВ будет иметь m строк и n столбцов, ее элементы вычисляются по формуле (1.6).

Пример 1.5. Найти произведения АВ и ВА матриц

Решение. По формуле (1.6) получаем элементы

По формуле (1.6) получаем элементы матрицы ВА: c11 3 4 2 3 5 2 28; c12 3 2 2 3 5 ( 3) 3;

c13 31 2 4 5 0 11;

c21 2 4 4 3 6 2 32; c22 2 2 4 3 6 ( 3) 2;

11

Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, заключаем, что AB BA .

Пример 1.6. Найти произведение АВ матриц

Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы B , поэтому можно умножать матрицу А на матрицу B . По формуле (1.6) находим:

c11 7 1 1 4 3 0 6 2 23; c12 7 5 1 1 3 ( 8) 6 4 36; c21 9 1 4 4 7 0 7 2 39; c22 9 5 4 1 7 ( 8) 7 4 21;

Следовательно:

23 36 АВ = .

39 21

12

Решение. Выручка определяется матрицей

, причем - это выручка предприятия в j- м регионе:

.

1.4. Свойства произведения матриц

Пусть А, В и С – матрицы соответствующих размеров (чтобы произведение матриц были определены), а – действительное число. Тогда имеют место следующие свойства произведения матриц:

1.АВ ВА

2.(АВ)С = А(ВС).

3.(А + В)С = АС + ВС.

4.А(В + С) = АВ + АС.

5.(АВ) = ( А)В = А( В).

Нетрудно убедиться, что в алгебре квадратных матриц единичная матрица E играет роль единицы, т.е. можно отметить еще два свойства, связанных с умножением на эту матрицу слева и справа:

6.АЕ = А.

7.ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.

13

Вопросы для самопроверки

1.Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства?

2.Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц?

3.Какая матрица называется единичной, транспониро-

ванной?

рядка.

14