Методическое пособие 247

g3(t) = fz = eitz; w = e(B+i)tw; t 2 U(0)g:

Наличие этих однопараметрических групп и порождаемых ими 3-мерных групп Ли по сути доказывает однородность поверхностей (2.91). Алгебры Ли, отвечающие этим группам и поверхностям, имеют в матричном изображении базисы

(2:92)

Несложно убедиться, что и обратное утверждение также верно с учетом следующего уточнения:

если A и B - произвольные вещественные числа, и точка Q(z0; w0) не лежит на конусе

то интегральное многообразие алгебры (2.92), проходящее через Q, есть в точности поверхность (2.91) с заданными A и B.

Остается заметить, что любая алгебра с базисом (2.89) превращается подобием в алгебру с базисом (2.92). Например, при = 0 подобие реализуется матрицей

состоящей из собственных векторов первой матрицы базиса (2.89). Напом-

ним, что здесь

x + iy = f210" ; x 6= 0; y 6= 0:

Ссылка на утверждение о единственности интегральной гиперповерхности завершает рассуждение в этом случае.

Случай 6= 0 рассматривается аналогично. Громоздкие (хотя и содержащие изящные фрагменты) арифметические выкладки мы здесь не приводим.

Замечание. Уточнение о конусе (2.93) здесь существенно, т.к. эта вырожденная по Леви поверхность также является интегральным многообразием для алгебр (2.92).

91

ГЛАВА 3. Леви-плоские аффинно-однородные

гиперповерхности в C2

Основным содержанием этой главы является доказательство теоремы 1.4. Как и доказательство теоремы 1.3 в предыдущей главе оно будет собрано "по частям" из нескольких отдельных случаев. В качестве особенности этой главы отметим, что здесь мы не будем стремиться к определению всех коэффициентов канонического уравнения из весовых компонент основного тождества. Вырожденность канонических уравнений сильно усложняет такое определение, заставляя рассматривать для этого компоненты довольно больших весов.

Больший акцент в этой главе делается на алгебраическую структуру семейства векторных полей, касательных к изучаемым однородным поверхностям. В силу замкнутости этого семейства относительно скобки наличие даже грубой предварительной информации о таких полях позволяет восстановить всю алгебру в точном виде. Это делается по сути в рамках компьютерных алгоритмов, аналогичных примененным во второй главе.

Еще одно отличие настоящей главы от предыдущей состоит в том, что она начинается с рассмотрения большого семейства примеров однородных поверхностей.

§3.1. Трехпараметрическое семейство однородных поверхностей

Пусть

- ненулевой набор вещественных чисел. С таким набором можно связать вещественно-аналитическую гиперповерхность M, заданную вблизи (неособой) точки Q(1; 1) уравнением

Ясно, что поверхность, описываемая уравнением (3.2), не изменяется при умножении каждого из чисел четверки (A1; A2; B1; B2) на ненулевую вещественную константу. Это дает повод обсуждать набор (3.1) как точку проективного пространства RP3. Однако с точки зрения аффинной эквивалентности обсуждаемых поверхностей такой способ представления наборов (3.1) также не является окончательным. Например, замена переменных

92

z $ w позволяет не различать поверхности (3.2), отвечающие наборам с одновременно переставленными элементами в парах (A1; A2) и (B1; B2).

Предложение 3.1. Для любого ненулевого набора (3.1) поверхность (3.2) однородна (вблизи точки Q(1; 1)) относительно линейных преобразований пространства C2.

Для доказательства достаточно предъявить 3-мерную подгруппу группы GL(2; C), транзитивно действующую на поверхности M вблизи точки

Q(1; 1).

Для набора (A; 1; B1; B2), получающегося из произвольной четверки (3.1) с ненулевым A2, такую группу образуют "комплексные растяжения" R(z; w) ! R (z ; w ), определяемые формулами

где t; '1; '2 - вещественные параметры. При этом t изменяется вблизи единицы, а '1; '2 - вблизи нуля.

Легко проверяется, что при любых (t; '1; '2) формулы (3.3) преобразуют поверхность (3.1) в себя. Транзитивность действия такой группы на поверхности M (вблизи т. Q(1; 1)) вытекает из того, что генераторы

группы (3.3), т.е. матрицы

порождают в этой точке 3-мерное вещественное пространство.

Для набора (0; 0; B; 1), получающегося из четверки (3.1) с двумя нулевыми A-координатами, группа (3.3) заменяется на

где t1; t2 2 U(1); ' 2 U(0) - вещественные параметры.

Вместо (3.4) получаем здесь для (3.5) также линейно независимые над R генераторы

93

Предложение 3.1 доказано.

Заметим, что вместо точки Q(1; 1) можно рассмотреть произвольную точку Q0(z0; w0) с координатами z0 6= 0; w0 6= 0, удовлетворяющими уравнению (3.2) для фиксированного набора (A1; A2; B1; B2). Вблизи Q0 поверхность (3.2) также является линейно-однородной орбитой этой точки под действием группы (3.3) или (3.5).

Легко проверяется справедливость следующего утверждения, связанного с линейной однородностью обсуждаемого семейства поверхностей.

Предложение 3.2. С точностью до матричных подобий алгебрами с базисами (3.4) и (3.6) исчерпываются все диагональные матричные подалгебры алгебры Ли gl(2; C), имеющие вещественную размерность 3.

Ясно, что из линейной однородности поверхностей (3.2) следует и их однородность относительно более широкой аффинной группы Aff(2; C). При этом матричные алгебры Ли, отвечающие аффинно-однородным поверхностям (3.2) и группам (3.3) и (3.5), имеют базисы

и

соответственно.

Ниже мы будем приводить многие из обсуждаемых алгебр Ли, соответствующих аффинно-однородным гиперповерхностям пространства C2, к диагональному виду, аналогичному (3.7) или (3.8).

В силу сформулированного выше предложения 3.2 это означает справедливость еще одного важного утверждения.

Предложение 3.3. Пусть вещественная гиперповерхность M 2 C2 аффинно-однородна вблизи некоторой своей точки . Если соответствующая M алгебра g(M) является 3-мерной аффинно - диагонализируемой алгеброй, то поверхность M аффинно эквивалентна (вблизи точки ) одной из поверхностей 3-параметрического семейства (3.2).

Для доказательства предложения 3.3 рассмотрим уже диагонализированную алгебру g(M) и точку (z0; w0) пространства C2, в которую переходит под действием диагонализирующего аффинного преобразования.

94

Матричная экспонента диагональной матрицы также является диагональной матрицей. Поэтому все групповые преобразования, соответствующие диагональной алгебре, являются комплексно-линейными растяжениями. Это означает, что обе координаты точки - ненулевые (т.к. иначе орбита точки под действием транзитивной группы G(M) лежала бы на одной из координатных плоскостей пространства C2, что невозможно для вещественной гиперповерхности).

Тогда еще одним линейным (и даже диагональным) преобразованием

z = z ; w = w z0 w0

пространства C2 эта точка переводится в (1; 1). Диагональная алгебра g(M) сохранится при таком переходе неизменной.

По теореме Фробениуса через точку (1,1) проходит единственное интегральное многообразие любой алгебры, в частности g(M). Но алгебра g(M) совпадает в силу своей диагональной структуры с одной из алгебр, отвечающих 3-параметрическому семейству поверхностей (3.2). Следовательно, и поверхность M совпадает с соответствующей поверхностью этого семейства.

Предложение 3.3 доказано.

Замечание 1. В 3-параметрическом семействе (3.2) имеется много интересных частных случаев. Это, например:

а) вещественная гиперплоскость { v = 0 }, представленная уравнением

лежащих в плоскости Cw, на плоскость Cz;

г) "билефельдские вееры линейчатые логарифмически спиральные по-

95

д) частным случаем семейства (3.12) является (при B1 = B2 = 0) конус

jzj2 jwj2 = 0 или w = 1( при (z; w) 6= (0; 0)): (3:13)

z

Замечание 2. Семейство (3.2) содержит однородные поверхности всех весов, введенных в главе 1. В самом деле, единственная однородная поверхность бесконечного веса { v = 0 } является элементом этого семейства в силу представления (3.9). Элементами семейства являются также поверхности (3.11), имеющие вес 4. Вес 3 имеют, например, билефельдские вееры (3.12) и, в частности, конус fjzj2 jwj2 = 0g. Поверхности

из этого семейства имеют, как несложно проверить, вес 2.

§3.2. Однородные поверхности веса 2

Основным результатом данного параграфа является следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 3.1 Любая аффинно-однородная вырожденная по Леви гиперповерхность веса 2 пространства C2 аффинно-эквивалентна одной из поверхностей следующего списка:

1) 3-параметрическое семейство поверхностей (3.2)

Доказательство сформулированной теоремы мы начнем, в соответствии с общей схемой, с обсуждения размерности алгебры векторных полей на однородной поверхности рассматриваемого класса.

96

3.2.1. Оценка размерности алгебры g(M) для поверхностей веса 2

Рассмотрим уравнение Леви-плоской поверхности M, имеющей вес 2,

т.е.

на коэффициенты этого уравнения.

Для доказательства предложения 1 сделаем в уравнении (3.19) замену переменных

Замечание. Согласованным растяжением координат z ! tz; w ! t2w (t > 0) любой ненулевой коэффициент из суммы

F3(0)(z; z) + XFk(z; z; u)

k 4

в (3.2.1) можно перевести на единичную окружность S1.

Далее рассмотрим основное тождество (1.43) для произвольного аффинного векторного поля Z на однородной поверхности M вида (3.21). Из компонент (1.47) и (1.48) этого тождества, выписанных в §1.3, легко получить следующие ограничения на параметры поля Z:

Предложение 3.5 Из компонент весов 2 и 3 основного тождества для аффинно-однородной поверхности M вида (3.21) вытекают следующие

97

ограничения на коэффициенты уравнения этой поверхности и на параметры любого касательного к M поля:

Доказательство предложения 2 является простым упражнением на тож-

для алгебры g(M) линейных векторных полей на однородной поверхности

M.

В самом деле, с учетом (3.22) - (3.24) все параметры матрицы (1.44), представляющей поле Z, выражаются в этом случае через ее последний столбец (параметры p; q) и, возможно, через еще один вещественный параметр B21.

В силу (3.25) для описания всех однородных Леви-вырожденных поверхностей веса 2 остается разобрать два случая возможных размерностей алгебры g(M): 3 и 4.

3.2.2. 4-мерные алгебры g(M) для поверхностей веса 2

В случае свободного параметра B21 базис изучаемой алгебры g(M)

с некоторыми коэффициентами M1; M2; N1; N2; M3; N3; = f002. Рассмотрение шести попарных матричных скобок [Ek; El] при 1 k <

l 4 и учет требования их принадлежности к (вещественной) линейной оболочке < E1; E2; E3; E4 > приводит к следующему утверждению.

98

Предложение 3.6. Существует единственная алгебра с базисом ви-

Предложение 3.7. Проходящее через начало координат пространства C2 интегральное многообразие, соответствующее алгебре (3.27), яв-

Для доказательства заметим, что наличие поля E3 в обсуждаемой алгебре означает, что соответствующая интегральная поверхность является жесткой, т.е. имеет (в рассматриваемых координатах) уравнение вида v = F (z; z), не зависящее от переменной u = Rew.

Два первых поля отличаются друг от друга множителем i. Это означает, что они порождают комплексную плоскость (одномерную комплексную прямую) в касательном пространстве к поверхности в каждой ее точке. Из двух вещественных уравнений

Re (Ek( ))jM = 0 (k = 1; 2)

отвечающих этим полям, строится одно комплексное уравнение

и мы получаем тогда однозначно определенное уравнение (3.28) искомой поверхности. Касание этой поверхности четвертым полем

99

очевидно, имеет место, т.к. этому полю соответствует однопараметрическая группа согласованных растяжений

z ! tz; w ! t2w; t > 0

пространства C2, сохраняющая поверхность (3.28).

Замечание. В теоремах 1.4 и 3.1 эта поверхность представлена в фор-

ме

Im(w z2) = 0:

Ясно, что заменяя в этом уравнении мнимую часть вещественной, мы получим поверхность Re(w z2) = 0; аффинно эквивалентную (3.28).

3.2.3. Поверхности веса 2 с 3-мерными алгебрами g(M)

При изучении 3-мерных алгебр, отвечающих этому же случаю, отметим, что их имеется достаточно много.

Здесь основой является допущение о том, что параметр B21 тоже выражается через основную тройку (p; p; q), а не является свободным. Положим

B21 = 1p + 2p + 3q;

где 1 = m + in; 2 = m in, а m; n; 3 - некоторые вещественные числа.

Тогда надо обсуждать 3-мерные алгебры с базисами вида

Как и ранее, предлагается рассмотреть три скобки выписанных "базисных" матриц и проверить условия замкнутости линейной оболочки

< E1; E2; E3 > относительно скобки. Вводя еще обозначения

100